Lời giải:

$P=xy(x^4-y^4)-30xy^2$

Khi đó muốn cm $P\vdots 30$ thì ta chỉ cần chỉ ra $xy(x^4-y^4)\vdots 30$ với mọi $x,y$ nguyên.

Nếu $x,y$ cùng tính chẵn lẻ thì $x^4, y^4$ cũng cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow x^4-y^4$ chẵn

$\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots 2$

Nếu $x,y$ khác tính chẵn lẻ, nghĩa là 1 trong 2 số là số chẵn.

$\Rightarrow xy\vdots 2\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots 2$

Vậy $xy(x^4-y^4)\vdots 2(*)$

--------------------------------------

Mặt khác:

Nếu 1 trong 2 số $x,y\vdots 5$ thì hiển nhiên $xy(x^4-y^4)\vdots 5$

Nếu $x,y$ đều không chia hết cho 5 thì $x^2, y^2$ cũng không chia hết cho $5$.

Mà 1 scp khi chia cho 5 dư $0,1,4$ nên lúc này $x^2, y^2$ chia 5 dư $1$ hoặc $4$
$xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)$.

$x^2, y^2$ mà cùng chia 5 dư $1$ hoặc cùng chia $5$ dư $4$ thì $x^2-y^2\vdots 5\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 5$

$x^2, y^2$ mà chia 5 khác số dư thì 1 số chia 5 dư 1, một số chia 5 dư 4 nên $x^2+y^2\vdots 5$

$\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 5$

Vậy tóm lại $xy(x^4-y^4)\vdots 5(**)$

-----------------

Nếu 1 trong 2 số $x,y$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $xy(x^4-y^4)\vdots 3$

Nếu cả 2 số $x,y$ đều không chia hết cho 3 thì $x^2, y^2$ chia 3 dư 1 (tính chất scp)

$\Rightarrow x^2-y^2\vdots 3$

$\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 3 (***)$

Từ $(*); (**); (***)\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots (2.3.5)$

Hay $xy(x^4-y^4)\vdots 30$

$\Rightarrow P\vdots 30$

Lời giải:

\(y=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow y'=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{y}\)

\(\Rightarrow y''=\frac{(-x)'.y-(-x).y'}{y^2}=\frac{-y+xy'}{y^2}\)

Do đó:

\(y^2.y''-xy'+y=y^2.\frac{-y+xy'}{y^2}-xy'+y=(-y+xy')-xy'+y=0\)

Ta có đpcm.

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+0}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)

\(=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\) là số hữu tỉ

x²=yz  => \(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\)

\(z^2=xy\Rightarrow\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}\)

áp dụng ... ta có

\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\frac{y}{z}=\frac{x+z+y}{y+x+z}=1\)

\(\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y\)

\(\frac{z}{x}=1\Rightarrow z=x\)

=>x=y=z

Ta có x2=yz nên x/y=z/x(1)

y2=xz nên x/y=y/z(2)

z2=xy nên z/x=y/z(3)

Từ 1,2,3 suy ra x/y=z/x=y/z(4)

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau vào 4 có

x/y=z/x=y/z=x+y+z/x+y+z

vì x, y,z khác 0 nên x+y+z Khác 0

suy ra x+y+z/z+x+y=1

suy ra x/y=z/x=y/z=1

suy ra x=y; x=z; y=z

xz=yx" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">yx=zy" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">zy=xz" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">xz=yx=zy" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">xz=yx=zy=x+y+zz+x+y=1" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">xz=1⇒x=z" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">yx=1⇒y=x" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">zy=1⇒z=y" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">zy=1⇒z=y" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax">T

x>y=> x-y>0

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

=> áp dụng bđt cosi ta có: \(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{\left(x-y\right)}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

Lời giải:

Giả sử $x>0; y< 0$. Khi đó:

\((xy-x^2)\sqrt{\frac{-y}{x}}=(y-x)x\sqrt{\frac{-y}{x}}=(y-x)\sqrt{-xy}\)

\((xy-y^2)\sqrt{\frac{-x}{y}}=(x-y)y\sqrt{\frac{-x}{y}}=(y-x)(-y)\sqrt{\frac{-x}{y}}=(y-x)\sqrt{(-y)^2.\frac{-x}{y}}=(y-x)\sqrt{-xy}\)

\(\Rightarrow (xy-x^2)\sqrt{\frac{-y}{x}}=(xy-y^2)\sqrt{\frac{-x}{y}}\Rightarrow \frac{xy-x^2}{\sqrt{\frac{-x}{y}}}=\frac{xy-y^2}{\sqrt{\frac{-y}{x}}}\) (đpcm)