Áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2+c^2+d^2\)\(\ge4\sqrt[4]{a^2.b^2.c^2.d^2}\)\(=4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\sqrt[4]{1^2}=4;\)

\(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)=ab+ac+bc+bd+dc+da\)

\(\ge6\sqrt[6]{ab.ac.bc.bd.dc.da}=6\sqrt[6]{\left(abcd\right)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)

=>\(a^2+b^2+c^2+d^2\)\(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge4+6=10\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1

a) Xét tứ giác ABCD có 

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)(Định lí tổng bốn góc trong một tứ giác)

mà \(\dfrac{\widehat{A}}{1}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{3}=\dfrac{\widehat{D}}{4}\)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

\(\dfrac{\widehat{A}}{1}=\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{3}=\dfrac{\widehat{D}}{4}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+2+3+4}=\dfrac{360^0}{10}=36^0\)

Do đó: \(\widehat{A}=36^0;\widehat{B}=72^0;\widehat{C}=108^0;\widehat{D}=144^0\)

Ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

mà hai góc này là hai góc trong cùng phía

nên AB//CD(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

hay ABCD là hình thang

abcd = 1 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{cd}\\ac=\frac{1}{bd}\\bc=\frac{1}{ad}\end{cases}}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

A = \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\)\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+ac+bc+bd+ad\)

\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+\left(\frac{1}{bd}+bd\right)+\left(\frac{1}{ad}+ad\right)\)

\(\ge3\sqrt{a^2.b^2.ab}+3\sqrt{c^2.d^2.cd}+2\sqrt{\frac{1}{bd}.bd}+2\sqrt{\frac{1}{ad}.ad}\)

\(\Leftrightarrow A\ge3ab+3cd+2+2\)\(=\frac{3}{cd}+3cd+4\ge2\sqrt{\frac{3}{cd}.3cd}+4=6+4=10\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1

cố gắng giúp mình nha

lỗi rồi nhé

Bị lỗi rồi

Hình như sao chép bị lỗi

Mình đăng câu khác nhé

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\\y=c+d\end{matrix}\right.\)

Thế vào đề ta được

\(xy+4\ge2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow xy-2x+4-2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(x-2\right)\ge0\)

Chứng minh \(\left(y-2\right)\left(x-2\right)\ge0\)

Ta có : (Đây là phần mình chứng minh nha, có gì sai mong bạn chỉ bảo )

\(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\\y=c+d\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bđt Cosi ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\ge2\sqrt{ab}\\y=c+d\ge2\sqrt{cd}\end{matrix}\right.\)

Mà ab=cd=1

Nên \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+b\ge2\\y=c+d\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\y-2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\ge0\)

=> ĐPCM

Ta có : a² + b² \(\ge2ab\)

\(c^2+d^2\ge2cd\)

Do abcd = 1 nên cd =\(\dfrac{1}{ab}\)( dùng \(x+\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{1}{2}\))

Ta có :\(a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+cd\right)=2\left(ab+\dfrac{1}{ab}\right)\ge4\)(1)

Mặt khác : a(b+c) +b(c+d)+d(c+a)

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

=\(\left(ab+\dfrac{1}{ab}\right)+\left(ac+\dfrac{1}{ac}\right)+\left(bc+\dfrac{1}{bc}\right)\ge2+2+2\)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge10\)

Theo hằng đẳng thức 
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab; 
c^2+d^2=(c+d)^2-2cd. 
Suy ra a^2+b^2 và a+b cùng chẵn, hoặc cùng lẻ; 
c^2+d^2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với 
a^2+b^2=c^2+d^2 ta suy ra a+b và c+d cùng chẵn, 
hoặc cùng lẻ. Từ đó a+b+c+d chẵn, và vì 
a+b+c+d>=4 nên a+b+c+d là hợp số.

tick cho mk nha

2

Ta có:

3a+2b-c-d=1 (1)

2a+2b-c+2d=2 (2)

4a-2b-2c+d=3 (3)

8a+b-6c+d=4 (4)

(1)+(2)+(3)-(4) vế theo vế ta được:

a+b+c+d=1+2+3-4=2

Vâp a+b+c+d=2