\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\)

=> \(\dfrac{1}{a+1}=1-\dfrac{1}{b+1}+1-\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)( AM-GM)

Tương tự ta có \(\dfrac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\); \(\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế với vế các bđt trên

=> \(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge8\sqrt{\dfrac{a^2b^2c^2}{\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2}}=8\cdot\dfrac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

=> \(1\le8abc\)<=> \(abc\le\dfrac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1/2

ý quên thiếu KL

Vậy MaxP = 1/8 <=> a=b=c=1/2

Đặt \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\)khi đó ta được xyz=1 và biểu thức P viết được thành

\(P=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2x^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\)

Ta có \(x^2+y^2\ge2xy;y^2+1\ge2y\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\)

Do đó ta được \(\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{xy+y+1}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{yz+z+1};\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{zx+z+1}\)

Cộng các vế BĐT trên ta được

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Do xyz=1 nên ta được

\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}=\frac{zx}{z+1+zx}+\frac{x}{1+zx+z}+\frac{1}{zx+x+1}=1\)

Từ đó ta được

\(P\le\frac{1}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

đáp án https://goo.gl/BjYiDy

Lớn hơn hoặc bằng hay là bằng?

Đinh Chỉ Tịnh ≥

\(\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

tương tự rồi nhân theo vế thôi nhé đệ =))

Áp dụng bđt cô si ta có:

\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\) 

\(b^2+2c^2+3\ge2\left(bc+c+1\right)\)

\(c^2+2a^2+3\ge2\left(ac+a+1\right)\)

=> \(M\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{bcab+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}\)

Bổ sung: 

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =  1

Vậy GTLN của M = 1/2 tại a = b = c = 1.

theo bđt cauchy-schwarz ta có \(P\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

Mà\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3=3abc}\)\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{3+2\cdot3abc}=\frac{9}{3+6}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(P_{max}=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Sorry mình viết nhầm nha \(3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)mới đúng nha

Nguyễn Gia Huy làm lộn hết dấu rồi??GTLN???

\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

Tương tự ...

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{abc+bc+c}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{bc}{ca.bc+a.bc+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{1+bc+c}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{bc}{c+1+bc}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c+1+bc}{1+bc+c}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{1}{2}\) khi \(a=b=c=1\)