Ta thấy (x-3)²,(x-2)²+|x-1| luôn luôn dương,x dương hoặc âm 

=>(x-3)² luôn chẵn;  (x-2)² luôn lẻ;  |x-1| luôn chẵn; x lẻ (theo giả thiết 1)

=>(chẵn +chẵn )+(lẻ +lẻ)

=chẵn + chẵn 

=chẵn chia hết 2.Mà 2013 ko chia hết 2

=>vô nghiệm (1)

=>(x-3)² luôn lẻ; (x-2)² luôn chẵn; |x-1| luôn lẻ; x chẵn (theo giả thiết 2)

=>(lẻ + lẻ )+(chẵn +chẵn)

=chẵn + chẵn 

= chẵn cũng chia hết 2.Mà  2013 ko chia hết 2

=>vô nghiệm (2)

Từ (1) và (2) =>pt trên vô nghiệm vs mọi x

ko tồn tại nhé bn 

Giải đơn giản ta có:

Với \(x\ge1,pt\Leftrightarrow2x^2-8x-2001=0\Rightarrow x=\frac{4+7\sqrt{82}}{2}\)

Với \(x< 1,pt\Leftrightarrow2x^2-10x-1999=0\Rightarrow x=\frac{5-3\sqrt{447}}{2}\)

Vậy không tồn tại x nguyên thỏa mãn pt trên.

Rõ ràng cặp (x;y) =(t;0) với t \(\inℤ\)là một nghiệm của phương trình

Xét trường hợp y\(\ne\)0, khi đó ta viết được phương trình dưới dạng 

\(2y^2+\left(x^2-3x\right)y+\left(3x^2+x\right)=0\)(1)

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn y. Biệt thức \(\Delta\)của nó bằng

\(\left(x^2-3x\right)^2-8\left(3x^2+x\right)=\left(x^2-8x\right)\left(x+1\right)^2\)

Đến đây phương trình (1) có nghiệm y nguyên điều kiện cần là \(\Delta\)phải là số thích phương. Từ đây ta có các TH sau
TH1: x=-1 thay vào (1) ta tính được y=-1

TH2: x\(\ne\)-1, x²-8x=a²(a\(\in\)N) Lúc này ta có: (x-4)²-a²=16 hay [|x-4|-a][|x-4|+a]=16

Dễ dàng tìm được x=0 (tương ứng ới y=0, loại), x=8 (tương ứng với y=-10) và x=9 (tương ứng y=-6 hoặc y=-21)

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: S={(t;0);(8;-10);(9;-6);(-1;-1)} (t\(\in\)Z)

\(n^2+2n-x^2-x=0.\)
\(\Delta'_n=1+x^2+x\ne k^2\left(k\in Z\right)\Rightarrow dpcm\)

Ta có : 

\(x\left(x+1\right)=n\left(n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=n^2+2n\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=n^2+2n+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=\left(n+1\right)^2\)

Vì n là số nguyên cho trước thì \(\left(n+1\right)^2\) là một số chính phương 

\(x>0\), Ta có : \(x^2+x+1>x^2\)

                             \(x^2+x+1< x^2+x+1+x=x^2+2x+1\)

                                                                                            \(=\left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2< x^2+x+1< \left(x+1\right)^2\)

Hay \(x^2< \left(n+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)

=> Vô lí do không thể có số chính phương nào tồn tại giữa hai số chính phương liên tiếp 

Vậy không thể tồn tại số nguyên dương x 

Giả sử tồn tại số nghuyên n thỏa mãn \(\left(2020^{2020}+1\right)⋮\left(n^3+2018n\right)\)

Ta có \(n^3+2018n=n^3-n+2019n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2019⋮3\)

Mặt khác \(2020^{2020}+1=\left(2019+1\right)^{2020}+1\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow\) vô lí

Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xét \(f\left[f\left(x\right)+x\right]=\left[f\left(x\right)+x\right]^2+m\left[f\left(x\right)+x\right]+n\)

\(=\left(x^2+mx+n+x\right)^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+x^2+m\left(x^2+mx+n\right)+mx+n\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+\left(x^2+mx+n\right)\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+mx+n+2x+m+1\right)\)

\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)

\(=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)

Thay \(x=2021\)

\(\Rightarrow f\left[f\left(2021\right)+2021\right]=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\)

Đặt \(f\left(2021\right)+2021=k\)

Do \(f\left(x\right)\) có hệ số m;n nguyên \(\Rightarrow k\) nguyên

\(\Rightarrow f\left(k\right)=f\left(2021\right).f\left(2022\right)\) với k nguyên 

Hay tồn tại số nguyên k thỏa mãn yêu cầu