\(\frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

a,b,c khác nhau đôi một nghĩa là từng cặp số khác nhau ,là:

+a khác b

+b khác c

+c khác a

\(A=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)

Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>ab+bc+ac=0\)

Suy ra: \(ab==-\left(bc+ac\right)=-bc-ac\)

    \(bc=-\left(ab+ac\right)=-ab-ac\)

\(ac=-\left(ab+bc\right)=-ab-bc\)

Nên \(a^2+2ab=a^2+bc+bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

Tương tự,ta cũng có: \(b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)

                               \(c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

Vậy \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)

những câu còn lại tương tự,bn tự làm nhé
 

ta có 1/a+1/b+1/c=0

=>bc+ac+ab/abc+0

=>bc+ac+ab=0

=>bc=-ac-ab

     ac=-bc-ab

     ab=-bc-ac

A=1/(a^2+bc-ac-ab)+1/(b^2+ac-bc-ab)+1/(c^2+ab-bc-ac)

=1/c(a-c)-b(a-c)+1/b(b-c)-a(b-c)+1/c(c-b)-a(c-b)

=1/(a-b)(a-c)+1/(b-a)(b-c)+1/(a-c)(c-b)

=b-c-a+c+a-b/(a-c)(a-b)(b-c)=0

('/': dấu gạch ngang ở giữa phân số)

anh là giởi nhất bảng sếp hạng mà còn ko làm được thì ai làm được

Mk mà giỏi thì các bn thành god hết rồi ạ :(

em chịu thui ko bt nhe

\(\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2\sqrt{xy}-z}{z+2\sqrt{xy}}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{x+y+z}\right)\)

Tương tự \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)\);\(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{y}{x+y+z}\right)\)

Cộng vế theo vế ta được \(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\le\frac{1}{2}\left(3-1\right)=1\)

bạn cho mình hỏi x,y,z là j vậy bạn

ok, mik hiểu r, cảm ơn bạn nhiều

sửa đề thành \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)nhé

Ta dễ có:

\(c^2+2ab=c^2+ab+ab=c^2+ab-bc-ca=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

Một cách tương tự:

\(a^2+2bc=\left(a-b\right)\left(a-c\right);b^2+2ca=\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)

Khi đó:

\(S=\frac{ab}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\frac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{ca}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\)

Cách đơn giản nhất là quy đồng :)

quy đồng không ra a kid ạ

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\\ \)

\(\Rightarrow bc=-ab-ac,ca=-ab-bc,ab=-bc-ca\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+bc}{a^2+2bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc+bc}=\frac{a^2+bc}{a^2+bc-ca-ab}=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}\)

     Làm tương tự. có: \(\frac{b^2+ca}{b^2+2ca}=\frac{b^2+ca}{b^2+ca-ab-bc}=\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}\)

 \(\frac{c^2+ab}{c^2+2ab}=\frac{c^2+ab}{c^2+ab-ca-bc}=\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2+bc}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\frac{b^2+ca}{\left(a-b\right).\left(c-b\right)}+\frac{c^2+ab}{\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+bc\right).\left(b-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}-\frac{\left(b^2+ca\right).\left(a-c\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}+\frac{\left(c^2+ab\right).\left(a-b\right)}{\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(a-c\right)}\)

Sau đó bạn thực hiện tiếp nhé.

Bài 1: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=3\). CMR: \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\le3\)

Bài 2: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Bài 3: Cho \(a,b,c\ge0:a^2+b^2+c^2=a+b+c\). CMR: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le ab+bc+ca\)

Bài 4: Cho \(a,b,c\ge0\). CMR: \(4\left(a+b+c\right)^3\ge27\left(ab^2+bc^2+ca^2+abc\right)\)

Bài 5: Cho \(a,b,c\ge0:a+b+c=3\).CMR: \(\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}+\frac{1}{2ab^2+1}\ge1\)