\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0.\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(y+x^2y-x-xy^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\left(lđ\forall x,y\ge1\right)\)

Dấu "=" xra khi x=y=1

Ta thấy: \(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=4xy\)
Thay x + y = 2 vào biểu thức trên ta được:
\(2^2-\left(x-y\right)^2=4xy\)
\(\Rightarrow4-\left(x-y\right)^2=4xy\)
Do \(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow4-\left(x-y\right)^2\le4\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow4xy\le4\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow xy\le1\) ( mọi x và y )
Vậy với mọi x và y, nếu \(x+y=2\) thì \(xy\le1\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(4xy=4\)
\(\Rightarrow4-\left(x-y\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x-y=0\)
\(\Rightarrow x=y\)

đặt x = 1 + a ; y = 1 - a thì x + y = ( 1 + a ) + ( 1 - a ) = 2

xy = ( 1 + a ) . ( 1 - a )

xy = 1 - a²

Mà a² \(\ge\)0

\(\Rightarrow\)1 - a² \(\le\)1

\(x+y=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-y\left(1\right)\)

Giả sử: \(x.y\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(2-y\right).y\le1\)

\(\Leftrightarrow y^2-2.y+1\ge0\),

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\ge1\)

Từ (1) và (2) suy ra:\(x.y\le1\)

Vì x+y=2 -> x=2-y 
ta có: xy=(2-y)y 
=2y-y^2 
=-y^2+2y-1+1 
=-(y-1)^2+1 
Vì (y-1)^2>=0 -> -(y-1)^2<=0(với mọi y) 
-> -(y-1)^2+1 <=1(với mọi y) 
Vậy xy<=1

ta có xy<=(x+y)^2/4 
cm 
<=> 4xy<=x^2+y^2+2xy 
<=> (x^2+y^2-2xy)>=0 
<=>(x-y)^2>=0 (dúng0) 
áp dụng xy<=(x+y)^2/4=2^2/4=1 
daứ = xảy ra là x=y=1 

bang bang de

Vì x+y=2 \(\Rightarrow\) x=2-y  

Ta có:

xy=(2-y)y

 =2y-y^2  

=-y^2+2y-1+1  

= -(y-1)^2+1  

Vì (y-1)^2\(\ge\)0 -> -(y-1)^2\(\le\)0(với mọi y)  

\(\Rightarrow\) -(y-1)^2+1 \(\le\)1(với mọi y)  

Vậy xy \(\le\)1

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)

xin lỗi, đề bài là y^2 nhá, mình quên