Mình nghĩ là làm như này nè:
Dễ cm:
+: \(\left(a+b\right)^2\le\)\(2\left(a^2+b^2\right)\)(với mọi a, b) ... Áp dụng => \(\left(x+y\right)^2\le\)\(2\)<=> \(-\sqrt{2}\le x+y\)\(\le\sqrt{2}\)
+: \(\sqrt{a+b}\le\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)\(\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)(Cái đầu dùng tương đương còn cái hai dùng bđt BCS)
ÁP dụng =>\(\sqrt{8-5\sqrt{2}}\le\) \(\sqrt{8+5\left(x+y\right)}\le\)\(T\)\(\le\sqrt{16+10\left(x+y\right)}\)\(\le\sqrt{16+10\sqrt{2}}\)
Dấu "=" <=> ...

Bạn @Đậu Đậu gì đó ơi, Bạn giải tới đó thì max=\(16+10\sqrt{2}\)thì mình hiểu rồi , còn min =??? ghi rõ hộ mình nhé

\(\sqrt{a+b}\le\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

<=> a+b \(\le a+b+2\sqrt{ab}\)<=> \(\sqrt{ab}\ge0\)ĐÚNG
Thì áp dụng thôi

Câu 2-Ta có x^2+y^2=5

(x+y)^2-2xy=5

Đặt x+y=S. xy=P

S^2-2P=5

P=(S^2-5)/2

Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2

Rùi tự tính

Câu1

Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)

=> P<=4/3(a+b+c)=4/3

Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c 

\(RHS\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}+\sqrt{5y^2+2yz+z^2}+\sqrt{5z^2+2zx+x^2}}\)

Thử chứng minh \(\sqrt{5x^2+2xy+y^2}\le\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\) cái này xem sao

khi đó:

\(RHS\ge\frac{9}{\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1

Cần chứng minh BĐT sau : \(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}\ge\frac{5x-y}{8\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow8\sqrt{2}x^2\ge\left(5x-y\right)\sqrt{5x^2+2xy+y^2}\) ( 1 )

Xét 5x - y \(\le\)0 \(\Rightarrow\)VT \(\ge\)0 ; VP \(\le\)0 \(\Rightarrow\)BĐT đã được chứng minh

Xét 5x - y \(\ge\)0 . Bình phương 2 vế của ( 1 ), ta được :

\(128x^4\ge\left(25x^2-10xy+y^2\right)\left(5x^2+2xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow128x^4\ge125x^4+10x^2y^2-8xy^3+y^4\)

\(\Leftrightarrow3x^4-10x^2y^2+8xy^3-y^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^4-3xy^3\right)+\left(10xy^3-10x^2y^2\right)+\left(xy^3-y^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+10xy^2\left(y-x\right)+y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x^3+3x^2y+3xy^2-10xy^2+y^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(3x^3-3xy^2\right)+\left(3x^2y-3xy^2\right)-\left(xy^2-y^3\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(3x^2+6xy-y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

( Vì \(5x-y\ge0\Rightarrow x\ge\frac{y}{5}\)\(\Rightarrow3x^2+6xy-y^2\ge3.\left(\frac{y}{5}\right)^2+6.\frac{y}{5}.y-y^2=\frac{8}{25}y^2\ge0\)) 

Tương tự : \(\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}\ge\frac{5y-z}{8\sqrt{2}}\); \(\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2xz+x^2}}\ge\frac{5z-x}{8\sqrt{2}}\)

Cộng từng vế 3 BĐT lại với nhau, ta được : 

\(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2xz+x^2}}\)

\(\ge\frac{5x-z+5y-z+5z-x}{8\sqrt{2}}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{8\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

Dấu "=' xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy BĐT đã được chứng minh

Thanh Tùng DZ Bài này trên face họ dùng đạo hàm khiếp quá giờ thấy cách anh hay thật !

\(B=\frac{ab}{a+b+2}\Rightarrow2B=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)

Do a ; b không âm , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta có :

\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2.4}=\sqrt{8}\)

\(\Rightarrow a+b-2\le\sqrt{8}-2\)

\(\Rightarrow2B\le\sqrt{8}-2\Rightarrow B\le\sqrt{2}-1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

Do x ; y không âm , \(x^2+y^2=1\)

\(\Rightarrow\left|x\right|;\left|y\right|\le1\) \(\Rightarrow0\le x;y\le1\)

\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2=1\)

\(x,y\ge0\Rightarrow xy\ge0\)

Ta có : \(A=\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}\)

\(\Rightarrow A^2=5x+4+5y+4+2\sqrt{\left(5x+4\right)\left(5y+4\right)}\)

\(=5\left(x+y\right)+8+2\sqrt{25xy+20y+20x+16}\)

\(\ge5.1+8+2\sqrt{25.0+20.1+16}=13+2.6=25\)

\(\Rightarrow A\ge5\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Với những điều kiện đề cho, biểu thức P chỉ có max bạn nhé.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(P^2=(\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}+\sqrt{5z+4})^2\leq (5x+4+5y+4+5z+4)(1+1+1)\\ \Leftrightarrow P^2\leq 3[5(x+y+z)+12]=51\\ \Rightarrow P\leq \sqrt{51}\)

Vậy $P_{\max}=\sqrt{51}$.

Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{1}{3}$