Những câu hỏi liên quan
ehgihgrkjge
Xem chi tiết
Mai Tâm Anh
Xem chi tiết
ST
12 tháng 8 2018 lúc 21:12

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{b+c-d}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3\)

Mà \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\)

=>\(\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3=\frac{a}{d}\Rightarrow\frac{\left(a+b-c\right)^3}{\left(b+c-d\right)^3}=\frac{a}{d}\Rightarrow\frac{\left(a+b-c\right)^3}{a}=\frac{\left(b+c-d\right)^3}{d}\) (đpcm)

Bình luận (0)
Lê Tài Bảo Châu
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
1 tháng 8 2020 lúc 8:33

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\)\(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Phùng Minh Quân
27 tháng 7 2020 lúc 22:28

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Phùng Minh Quân
27 tháng 7 2020 lúc 22:50

3a biến đổi tí là xong

b tuong tự bài 1 

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
nhu thong Nguyen
Xem chi tiết
Nguyệt
9 tháng 12 2018 lúc 12:14

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\Rightarrow\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}\)

áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\Rightarrow\left(\frac{a^2}{c^2}\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(a^2+d^2\right)^3}=\frac{a^6}{c^6}\left(1\right)\)

\(\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\Rightarrow\left(\frac{a^3}{c^3}\right)^2=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3+d^3\right)^2}=\frac{a^6}{c^6}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(c^2+d^2\right)^3}=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(c^3+d^3\right)^2}\left(đpcm\right)\)

Bình luận (0)
nhu thong Nguyen
12 tháng 12 2018 lúc 20:46

ử, mk làm nhanh hơn

Bình luận (0)
Thắng Nguyễn
Xem chi tiết
♥ℒℴѵe♥
Xem chi tiết
Đinh Đức Hùng
18 tháng 7 2017 lúc 16:32

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3\) (1)

Mà \(\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\)(TC DTSBN) (2)

Từ (1) ; (2) => \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\) (đpcm)

Bình luận (0)
tên mik là
Xem chi tiết
Dzaka
4 tháng 11 2016 lúc 12:41

mình ko biết làm xin lỗi nhé

Bình luận (0)
Minh Thư
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
22 tháng 1 2020 lúc 17:24

Đặt BĐT cần c/m là A

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:

\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Cố gắng hơn nữa
Xem chi tiết