Bài toán quy về tìm phương trình đường vuông góc chung:

\(d_1\): \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1-t\\z=2-t\end{matrix}\right.\)

- \(\left[\overrightarrow{u_{d1}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(1;-1;2\right)\Rightarrow\)(P) chứa \(d_2\) và \(\left(P\right)//d_1\) có vtpt \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;-1;2\right)\)

- (Q) chứa \(d_2\) và \(\left(Q\right)\perp\left(P\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(2;-2;-2\right)=2\left(1;-1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (Q):

\(1\left(x-3\right)-1\left(y-2\right)-1\left(z-5\right)=0\Leftrightarrow x-y-z+4=0\)

Tọa độ A:

\(2+t-\left(1-t\right)-\left(2-t\right)+4=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow A\left(1;2;3\right)\)

Đáp án ?!

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(-2;2;1\right)\) và đi qua \(M\left(3;6;1\right)\)

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\left(-4;-2;5\right)\) và đi qua \(\overrightarrow{AM}\left(-1;4;-1\right)\)

Ta có \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right]=\left(12;6;12\right)\Rightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{AM}=-12+24-12=0\)

Vậy ta có AB và d đồng phẳng.

\(C\in d\Rightarrow C\left(3-2t;6+2t;1+t\right)\)

Tam giác ABC cân tại A \(\Leftrightarrow AB=AC\)

                                    \(\Leftrightarrow\left(1+2t\right)^2+\left(4+2t\right)^2+\left(1-t\right)^2=45\)

                                    \(\Leftrightarrow9t^2-18t-27=0\)

                                   \(\Leftrightarrow t=1\) hoặc \(t=-3\)

Vậy \(C\left(1;8;2\right)\) hoặc \(C\left(9;0;-2\right)\)

a: 

b: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-2=x+1\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-x=2+1\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=3\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay x=3/2 và y=5/2 vào (d3), ta được:

\(2m+3\cdot\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{5}{2}\)

=>\(2m+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}\)

=>\(2m=-1\)

=>m=-1/2

c: (d3): y=2m+3x-1

=>y=m*2+3x-1

Tọa độ điểm mà (d3) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2=0\left(vôlý\right)\\y=3x-1\end{matrix}\right.\)

=>(d3) không đi qua cố định bất cứ điểm nào

Bạn chép lại đề được không?

Tọa độ giao điểm của (d2) và (d3) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=-x+3\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x=2\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=2 vào (d1), ta được:

\(\left(m^2-1\right)+m^2-5=2\)

=>\(2m^2=8\)

=>\(m^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Đúng là chơi lừa bịp thực sự bài này rất dễ đây là cách giải:

ta có: \(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+.....+\left(x+z\right)^{100}\ge0\)còn \(-\left(y+z+x\right)\le0\)  nên phương trình 1 vô lý 

tương tự chứng minh phương trinh 2 và 3 vô lý 

vậy \(\hept{\begin{cases}x=\varnothing\\y=\varnothing\\z=\varnothing\end{cases}}\)

thực sự bài này mới nhìn vào thì đánh lừa người làm vì các phương trình rất phức tạp nhưng nếu nhìn kĩ lại thì nó rất dễ vì các trường hợp đều vô nghiệm

\(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}=-\left(y+z+x\right)\)

Đặt : \(A=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^4+...+\left(x+z\right)^{100}\)

Ta dễ dàng nhận thấy tất cả số mũ đều chẵn 

\(=>A\ge0\)(1)

Đặt : \(B=-\left(y+z+x\right)\)

\(=>B\le0\)(2)

Từ 1 và 2 \(=>A\ge0\le B\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=B=0\)

Do \(B=0< =>y+z+x=0\)(3)

\(A=0< =>\hept{\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{cases}}\)(4)

Từ 3 và 4 \(=>x=y=z=0\)

Vậy nghiệm của pt trên là : {x;y;z}={0;0;0}

Đặt :\(\left(xy\right)^2+2\left(yz\right)^4+...+100\left(zx\right)^{100}=A\)

Ta thấy các số mũ đều chẵn 

Nên \(A\ge0\left(1\right)\)

Đặt : \(-\left[\left(x+y+z\right)+2\left(yz+zx+xy\right)+...+99\left(x+y+z\right)\right]=B\)

Vì có dấu âm ở trước VT

Nên \(B\le0\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 <=> \(A=B=0\)

\(< =>x=y=z=0\)