Cho: \(A=\frac{\left(x^2+y\right)\left(\frac{1}{4}+y\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}+y\right)}{x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)}\)
a, Tìm tập xác định của A
b, Cmr giá trị của A không phụ thuộc vào x
c, Tìm Min A và giá trị tương ứng của y
Cho \(A=\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)}{x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)}\)
a) CM giá trị của A ko phụ thuộc x
b) Tìm minA
Lời giải:
a) Xét tử thức:
\((x^2+y)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)=x^2y+\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{y}{4}+x^2y^2+\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\)
\(=x^2y+\frac{x^2}{4}+y+y^2+x^2y^2+\frac{1}{4}\)
\(=(x^2y+\frac{x^2}{4}+x^2y^2)+(y^2+y+\frac{1}{4})=x^2(y^2+y+\frac{1}{4})+(y^2+y+\frac{1}{4})\)
\(=(x^2+1)(y+\frac{1}{2})^2\)
Xét mẫu thức:
\(x^2y^2+1+(x^2-y)(1-y)=x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\)
\(=(x^2y^2-x^2y+x^2)+(y^2-y+1)=x^2(y^2-y+1)+(y^2-y+1)\)
\(=(y^2-y+1)(x^2+1)\)
Do đó:
\(A=\frac{(y+\frac{1}{2})^2}{y^2-y+1}\) là giá trị không phụ thuộc vào $x$
b)
\((y+\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall y\in\mathbb{R}\)
\(y^2-y+1=(y-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0, \forall y\in\mathbb{R}\)
Do đó: $A=\frac{(y+\frac{1}{2})^2}{y^2-y+1}\geq 0$
Hay $A_{\min}=0$ tại $y=\frac{-1}{2}$
Cho biểu thức A= \(\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)}{x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)}\)
a) Tìm đkxđ A
b) Chứng minh A không phụ thuộc vài x
c) Tìm GTNN của A
\(A\)xác định \(\Leftrightarrow x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)-\left(x^2y+y\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(x^2+1\right)+\left(x^2+1\right)-y\left(x^2+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-y+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\forall x\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]>0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow A\ne0\forall x;y\)
Cho biểu thức:
\(P=\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)+x^2y^2}{\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)+x^2y^2+1}\)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P với các số nguyên dương x;y thỏa mãn: 1! + 2! +...+ x! = y2
1.Với giá trị nào của biến thì giá trị của biểu thức bằng 0
\(\frac{x+1}{7};\frac{3x+3}{5};\frac{3x\left(x-5\right)}{x-7};\frac{2x\left(x+1\right)}{3x+4}\)
2.Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(A=\frac{a^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^{\text{4}}+b^{\text{4 }}\right)\left(a^8+b^8\right)\left(a^2-3b\right)}{\left(a^{10}+b^{10}\right)}\)tại a=6;b=12
\(B=3xy\left(x+y\right)+2x^3y+2x^2y^2+5\)tại x+y=0
\(C=2x+2y+3xy\left(x+y\right)+5\left(x^3y^2+x^2y^3\right)+4\)tại x+y=0
1)tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:\(y^2=x^2+x+1\)
2)cho các số thực x và y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\left(y+\sqrt{a+y^2}\right)\)=a
tìm giá trị biểu thức \(4\left(x^7+y^7\right)+2\left(x^5+y^5\right)+11\left(x^3+y^3\right)+2016\)
3)cho x;y là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y khác 0
cmr \(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)\(=\frac{1}{x^3y^3}\)
4)cho a,b,c là các số dương.cmr\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge1\)
rút gọn biểu thức
\(A_8=\left(1-\frac{1}{x+2}\right):\left(\frac{4-x^2}{x-6}-\frac{x-2}{3-x}-\frac{x-3}{x+2}\right)\)
\(A=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}-\frac{2x^2y}{x^4-2x^2y^2+y^4}+\frac{x^2}{\left(y^2-x^2\right)\left(x+y\right)}\right]\)
cm các biểu thức sau ko phụ thuộc vào biến:
a,\(\left[\frac{2\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2}+\frac{x-y}{2x+2y+4}\right].\frac{2x+2}{x+y+2}+\frac{y+1}{y-x}\)
b,\(\left[2\left(x+y\right)+1-\frac{1}{1-2x-2y}\right]:\left[2x+2y-\frac{4x^2+8xy+4y^2}{2x+2y-1}\right]+2\left(x+y\right)\)
Bài tập chỉ mang tính giải trí, ^^
Cho các số x, y dương. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^2+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(y+2x\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)
bạn Kiệt có đánh sai chỗ nào ko vậy :)). mình thấy có 1 lỗi :)).
Đặt \(a=2x+y;b=2y+x\) \(\left(a,b>0\right)\)
Khi đó : \(P=\frac{2}{\sqrt{a^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^3+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
Cô-si , ta có : \(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\frac{a+1+a^2-a+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^3+1}-1\le\frac{a^2}{2}\)
Tương tự : \(\sqrt{b^3+1}-1\le\frac{b^2}{2}\)
Mặt khác : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{8}{a+b}\Rightarrow-\frac{8}{a+b}\ge\frac{-2}{a}-\frac{2}{b}\)
\(P\ge\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}=\left(\frac{4}{a^2}+1\right)+\left(\frac{4}{b^2}+1\right)+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2\)
\(\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{ab}{4}-\frac{2}{a}-\frac{2}{b}-2=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{ab}{4}-2\ge3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{2}{b}.\frac{ab}{4}}-2=1\)
Vậy GTNN của P là 1 \(\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}\)
Mình nghĩ đề sửa là:
Cho các số x,y nguyên. Tìm GTM của biểu thức
\(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^3+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(x+2y\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)
Cách làm giống @Thanh Tùng DZ@ nên không trình bày lại
