Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nakroth

Cho \(A=\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)}{x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)}\)

a) CM giá trị của A ko phụ thuộc x

b) Tìm minA

Akai Haruma
7 tháng 3 2020 lúc 15:12

Lời giải:

a) Xét tử thức:

\((x^2+y)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)=x^2y+\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{y}{4}+x^2y^2+\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\)

\(=x^2y+\frac{x^2}{4}+y+y^2+x^2y^2+\frac{1}{4}\)

\(=(x^2y+\frac{x^2}{4}+x^2y^2)+(y^2+y+\frac{1}{4})=x^2(y^2+y+\frac{1}{4})+(y^2+y+\frac{1}{4})\)

\(=(x^2+1)(y+\frac{1}{2})^2\)

Xét mẫu thức:
\(x^2y^2+1+(x^2-y)(1-y)=x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\)

\(=(x^2y^2-x^2y+x^2)+(y^2-y+1)=x^2(y^2-y+1)+(y^2-y+1)\)

\(=(y^2-y+1)(x^2+1)\)

Do đó:

\(A=\frac{(y+\frac{1}{2})^2}{y^2-y+1}\) là giá trị không phụ thuộc vào $x$

b)

\((y+\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall y\in\mathbb{R}\)

\(y^2-y+1=(y-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0, \forall y\in\mathbb{R}\)

Do đó: $A=\frac{(y+\frac{1}{2})^2}{y^2-y+1}\geq 0$

Hay $A_{\min}=0$ tại $y=\frac{-1}{2}$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
nguyễn hương ly
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
MInemy Nguyễn
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Min
Xem chi tiết
MInemy Nguyễn
Xem chi tiết
Bí Mật
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
trung dũng trần
Xem chi tiết