a) \(y=\left(1-m\right)x+m+2\left(d\right)\)

\(y=2x-1\left(d'\right)\)

\(\left(d\right)//\left(d'\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m=2\\m+2\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Vậy với \(m=-1\) để \(\left(d\right)//\left(d'\right)\)

b) \(\left(d\right)\cap\left(Ox\right)=A\left(x;0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{m-1}{m+2}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{m-1}{m+2};0\right)\)

\(\Rightarrow OA=\sqrt[]{\left(\dfrac{m-1}{m+2}\right)^2}=\left|\dfrac{m-1}{m+2}\right|\)

\(\left(d\right)\cap\left(Oy\right)=B\left(0;y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right).0+m+2=y\)

\(\Leftrightarrow y=m+2\)

\(\Rightarrow B\left(0;m+2\right)\)

\(\Rightarrow OB=\sqrt[]{\left(m+2\right)^2}=\left|m+2\right|\)

Để \(\Delta OAB\) là \(\Delta\) vuông cân khi và chỉ khi

\(\left|\dfrac{m-1}{m+2}\right|=\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-1}{m+2}=m+2\\\dfrac{m-1}{m+2}=-\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(m\ne-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2=m-1\\\left(m+2\right)^2=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+2m+4=m-1\\m^2+2m+4=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+m+5=0\left(1\right)\\m^2+3m+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải \(pt\left(1\right):\Delta=1-20=-19< 0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Giải \(pt\left(2\right):\Delta=9-12=-3< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn đề bài

a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2).
2= (3m – 2).1 + m – 2
2=3m -2 +m -2
2=4m -4
6=4m
m =3/2

b) Đường thẳng (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Tìm m để diện tích ∆OAB bằng ½.
m <>2/3 ;2
A={(m-2)/(3m-2);0)
B={0;(m-2) )

diện tích ∆OAB =1/2 OA.OB
=> OA.OB=1
<=>(m-2)/(3m-2).(m-2) =±1
<=>(m-2)^2 =±(3m-2)
<=>(m^2-4m+4) =±(3m-2)
m^2 -7m +6 =0 => m={ 1; 6}
m^2 -m +2 =0 (vn)
m ={1;6 }

Cho x = 0 => y = m - 2 

=> d cắt trục Oy tại B(0;m-2) => OB = | m - 2 | 

Cho y = 0 => x = \(\frac{2-m}{3m-2}\)

=> d cắt trục Ox tại A(\(\frac{2-m}{3m-2}\);0) => \(OA=\left|\frac{2-m}{3m-2}\right|\)

Ta có : \(S_{OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}\left|\frac{\left(m-2\right)\left(2-m\right)}{3m-2}\right|=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|\frac{-m^2-4+4m}{3m-2}\right|=1\)ĐK : \(\frac{-m^2-4+4m}{3m-2}\ge0\Leftrightarrow\frac{-\left(m-2\right)^2}{3m-2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(m-2\right)^2}{3m-2}\le0\)

\(\Rightarrow3m-2< 0\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

TH1 : \(\frac{-m^2-4+4m}{3m-2}=1\Leftrightarrow-m^2-4+4m=3m-2\)

\(\Leftrightarrow m^2-m+2=0\Leftrightarrow\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}>0\)vậy pt vô nghiệm 

TH2 : \(\frac{-m^2+4m-4}{3m-2}=-1\Leftrightarrow-m^2+4m-4=2-3m\)

\(\Leftrightarrow m^2-7m+6=0\Leftrightarrow m=1;m=6\)(ktmđk)

Vậy ko có giá trị m để S_OAB = 1/2 

Lời giải:
$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$0=y_A=4m^2x_A+1-2m\Rightarrow x_A=\frac{2m-1}{4m^2}$

Vậy $A(\frac{2m-1}{4m^2},0)$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$y_B=4m^2x_B+1-2m=4m^2.0+1-2m=1-2m$
Vậy $B(0, 1-2m)$

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow OA.OB=1$

$\Leftrightarrow |x_A|.|y_B|=1$

$\Leftrightarrow |\frac{2m-1}{4m^2}|.|1-2m|=1$

$\Leftrightarrow \frac{(2m-1)^2}{4m^2}=1$

$\Rightarrow \frac{2m-1}{2m}=1$ hoặc $\frac{2m-1}{2m}=-1$

$\Rightarrow 2m-1=2m$ (loại) và $2m-1=-2m$ (chọn) 
$\Rightarrow m=\frac{1}{4}$

Tọa độ điểm A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m-1\right)x-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x\left(m-1\right)=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\)

=>\(A\left(\dfrac{2}{m-1};0\right)\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(m-1\right)\cdot x-2=0\left(m-1\right)-2=-2\end{matrix}\right.\)

=>B(0;-2)

O(0;0); \(A\left(\dfrac{2}{m-1};0\right)\); B(0;-2)

\(OA=\sqrt{\left(\dfrac{2}{m-1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{m-1}\right)^2}=\dfrac{2}{\left|m-1\right|}\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=\sqrt{0+4}=2\)

Vì Ox\(\perp\)Oy

nên OA\(\perp\)OB

=>ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\dfrac{2}{\left|m-1\right|}=\dfrac{2}{\left|m-1\right|}\)

Để \(S_{OAB}=8\) thì \(\dfrac{2}{\left|m-1\right|}=8\)

=>\(\left|m-1\right|=\dfrac{1}{4}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-1=\dfrac{1}{4}\\m-1=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{4}\\m=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

a: Để (d) cắt (d') tại một điểm nằm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}-2m+1< >2\\-m+1=m+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2m< >1\\-m-m=3-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< >-\dfrac{1}{2}\\-2m=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m< >-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\)

b: (d): \(y=-\left(2m-1\right)x-m+1\)

\(=-2mx+x-m+1\)

\(=m\left(-2x-1\right)+x+1\)

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-1=0\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x=1\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

c: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\left(2m-1\right)x-m+1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(-2m+1\right)x=m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{m-1}{-2m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(A\left(\dfrac{m-1}{-2m+1};0\right)\)

\(OA=\sqrt{\left(\dfrac{m-1}{-2m+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m-1}{2m-1}\right)^2}=\dfrac{\left|m-1\right|}{\left|2m-1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\left(2m-1\right)\cdot x-m+1=-\left(2m-1\right)\cdot0-m+1=-m+1\end{matrix}\right.\)

vậy: B(0;-m+1)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-m+1-0\right)^2}=\sqrt{\left(-m+1\right)^2}\)

\(=\left|m-1\right|\)

Vì ΔOAB vuông tại O nên \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\left|m-1\right|\cdot\dfrac{\left|m-1\right|}{\left|2m-1\right|}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(m-1\right)^2}{\left|2m-1\right|}\)

Để \(S_{AOB}=1\) thì \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left|2m-1\right|}=1\)

=>\(\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left|2m-1\right|}=2\)

=>\(\left(m-1\right)^2=2\left|2m-1\right|\)(1)

TH1: m>1/2

Phương trình (1) sẽ tương đương với \(\left(m-1\right)^2=2\left(2m-1\right)\)

=>\(m^2-2m+1=4m-2\)

=>\(m^2-6m+3=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=3+\sqrt{6}\left(nhận\right)\\m=3-\sqrt{6}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<1/2

Phương trình (2) sẽ tương đương với:

\(\left(m-1\right)^2=2\left(-2m+1\right)\)

=>\(m^2-2m+1=-4m+2\)

=>\(m^2-2m+1+4m-2=0\)

=>\(m^2+2m-1=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{2}\left(nhận\right)\\m=-1-\sqrt{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Gợi ý :

a) y = 2 => x = 2 hoặc -2 ( do có thể < 0 hay > 0 )

b) S(OAB) = 1 => |x| = 1 => x = 1 hoặc -1

c) Gọi khoảng cách từ O tới (d) là OH

OH bé hơn hoặc bằng khoảng cách 2 của O tới điểm cố định trên Oy

=> max = 2 khi d song^2 Ox => x = 0 => đúng mọi m

d)  Thay vào biểu thức hệ thức lượng => khoảng cách từ O tới điểm mà d cắt trên Ox là 0 => d trùng Oy

e) thay x vào có kết quả

f) cắt tại điểm > 2 => biểu thức biểu diễn x > 2 ( -2/(m+3)   )

a, Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên 

( d ) đi qua A( 2,0 )

Thay A( 2,0 ) vào đường thẳng d ta được 

\(\left(1-m\right).2+m+2=0\)

\(2-2m+m+2=0\)

\(4-m=0\)

\(m=4\)

b, Đường thẳng d song song vs đường thẳng y = 2x - 1 nên

1 - m = 0 và m + 2 khác -1

m = 1 và m khác -3