\(f\left(x\right)\)có hai nghiệm là x=-1 và x=1

ta có: \(f\left(1\right)=0\Leftrightarrow1^3+a+b-2=0\Leftrightarrow a+b=1\)(1)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)-2=0\Leftrightarrow a-b=3\)(2)

Từ (1) VÀ (2) TA CÓ: \(a=\frac{1+3}{2}=2;b=\frac{1-3}{2}=-1\)

b)Đề bài tìm số chính phương có bốn chữ số khác nhau ?

Đặt : \(\overline{abcd}=n^2;\overline{dcba}=m^2\)(g/s m, n là các số tự nhiên)

Theo bài ta có các giả thiết sau:  

\(1000\le m^2,n^2\le9999\Rightarrow32\le m;n\le99\)(1)

\(m^2⋮n^2\Rightarrow m⋮n\)(2)

=> Đặt m=kn (k là số tự nhiên, K>1)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}32\le n\le99\\32\le m\le99\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}32.k\le kn\le99k\\32\le kn\le99\end{cases}\Rightarrow}32k\le kn\le99\Rightarrow k\le\frac{99}{32}\Rightarrow k\le3\)

Vậy nên k=2 hoặc bằng 3

Vì \(m=kn\Rightarrow m^2=k^2.n^2\Rightarrow\overline{dcba}=k^2.\overline{abcd}\)

+) Với k=2

Ta có: \(\overline{dcba}=4.\overline{abcd}\)

Vì  \(\overline{abcd};\overline{dcba}\)là các số chính phương có 4 chữ số khác nhau \(\Rightarrow d,a\in\left\{1;4;6;9;\right\}\)

và \(\overline{dcba}⋮\overline{abcd}\)nên d>a(2)

@) Khi \(a\ge4\Rightarrow\overline{dcba}\ge4.\overline{4bcd}>9999\)(loại)

Nên a=1.

Ta có: \(\overline{dcb1}=4.\overline{1bcd}\)vô lí vì không có số \(d\in\left\{1;4;6;9;\right\}\)nhân với 4 bằng 1

+) Với K=3

tương tự lập luận trên ta có a=1

Ta có: \(\overline{dcb1}=9.\overline{1bcd}\)=> d=9

Ta có: \(\overline{9cb1}=9.\overline{1bc9}\Leftrightarrow9000+c.100+b.10+1=9\left(1000+b.100+c.10+9\right)\)

\(\Leftrightarrow10c=890b+80\Leftrightarrow c=89b+8\)vì c, b là các số tự nhiên từ 0, đến 9

=> b=0; c=8

=> Số cần tìm 1089 và 9801 thỏa mãn với các điều kiện bài toán 

Vì q=a2q=a2 nên ta có : q=1;4,9q=1;4,9

Với q=1q=1 ta có : abcd¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=dcba¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯→a=b=c=dabcd¯=dcba¯→a=b=c=d 

Mà abcd¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯abcd¯ có dạng bình phương 1 số nguyên nên ta thử với các số có dạng xxxx¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=y2 (y∈Z)xxxx¯=y2 (y∈Z). Phương trình này vô nghiệm nên trường hợp này loại.

Với q=4q=4 ta có : abcd¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=4dcba¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯abcd¯=4dcba¯

Có d chẵn, a≥9a≥9 nên d=2→a=8;9d=2→a=8;9 

Tiếp tục thử với a=8; a=9a=8; a=9 bằng cách tách số hạng ta không tìm được số nào thỏa mãn.

Với q=9q=9 ta có a=9; d=1a=9; d=1 Tách tương tự không tìm được số nào thỏa mãn.

Nếu có chắc thử sai nhưng hướng làm là thế 

DO A LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG VÀ A KHÁC 0 , A CÓ 1 CHỮ SỐ

=> A CÓ THỂ BẰNG 1 . 4 . 9

+, TH1 : A = 1

=> 1D LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> D = 6

=> C6 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> C = 3 HOẶC BẰNG 1( TH 1 KHÔNG THỎA MÃN)

=> 1B36 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> B = 9 ( DO 44^2 = 1936

+. TH2 : A= 4

=> 4D LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 

=> D = 9

=> C9 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> C HOẶC BẰNG 0 , HOẶC BẰNG 4

+. NẾU C = 0

=> 4B09 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> LOẠI DO KHÔNG CÓ B THỎA MÃN

+, NẾU C = 4

=> 4B49 LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

=> KHÔNG TỒN TẠI B THỎA MÃN

+, A = 9

=> 9D LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 

=> KHÔNG TÍM THẤY D THỎA MÃN

 VẬY A= 1 , B = 9 , C=3 , D=6

a=1,4,9.

Nếu a=1→b=6→c=9, nhưng không có d thỏa mãn giả thiết

Nếu a=4→b=9, nhưng không có c thỏa mãn giả thiết.

Nếu a=9→b=, nhưng khôn có c thoản mãn giả thiết.

Vậy không tồn tại a,b,c,d thỏa đề ra !

Các bạn làm sai hết rồi! 

Số chính phương thường có tận cùng là \(0;1;4;5;6;9\)

Sao các bạn chỉ xét \(1;4;9?\)

giúp tớ với nhé!

Bài 5:

Vì số cần tìm nhỏ nhất nên ta lần lượt thử chọn với các giá trị số nhỏ nhất.
- Giả sử số tự nhiên có dạng 11111a
=> 111110 + a chia hết cho 1987. Vì 111110 chia 1987 dư 1825

=> a chia 1987 dư 162 ( vô lí - 162 > a).
- Giả sử số tự nhiên có dạng 11111ab
=> 1111100 + ab chia hết cho 1987. Vì 1111100 chia 1987 dư 367=> ab chia 1987 dư 1620 ( vô lí - 1620 > ab)
- Giả sử số tự nhiên có dạng 11111abc
=> 11111000 + abc chia hết cho 1987. Vì 11111000 chia 1987 dư 1683

=> abc chia 1987 dư 304. Mà abc nhỏ nhất

=> abc = 304
Vậy số tự nhiên là 11111304

\(\overline{abcd}⋮9\)  (d là số nguyên tố)

\(\Rightarrow d\in\left\{3;5;7\right\}\)

mà \(\overline{abcd}\) là số chính phương

\(\Rightarrow d\in\left\{5\right\}\Rightarrow c\in\left\{2\right\}\)

\(\Rightarrow\overline{ab}\in\left\{12;20;30;56;72\right\}\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d⋮9\\c+d=2+5=7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overline{ab}\in\left\{20;56\right\}\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}\in\left\{2025;5625\right\}\)

 Số chính phương có bốn chữ số. Số chính phương có bốn chữ số có thể là 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000.

- Nếu tổng các chữ số là 9, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 18, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 27, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 36, thì số abcd
chia hết cho 9.
- Nếu tổng các chữ số là 45, thì số abcd
chia hết cho 9.

Ví dụ: Giả sử ta tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd
, biết rằng nó là một số chính phương, số abcd
chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố.

- Ta tìm số chính phương có bốn chữ số: 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000.

- Ta kiểm tra số abcd
chia hết cho 9. Ví dụ, nếu ta chọn số 2025, tổng các chữ số là 2 + 0 + 2 + 5 = 9, nên số 2025 chia hết cho 9.

- Ta kiểm tra d có phải là số nguyên tố. Ví dụ, nếu ta chọn số 2025, d = 5 không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào từ 2 đến căn bậc hai của 5, nên d = 5 là số nguyên tố.

- Kết hợp các kết quả từ các bước trên, ta có số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2025.

A = \(\overline{abcd}\) 

+ vì A là một số chính phương nên \(d\) = 0; 1; 4; 5;6; 9

+ Vì \(d\) là số nguyên  tố nên \(d\) = 5

+ Vì A là số chính phương mà số chính phương có tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là: 2 ⇒ c =2

+ Vì A ⋮ 9 ⇒ a + b + c + d \(⋮\) 9 

⇔ a + b + 2 + 5 ⋮ 9 ⇒ a + b = 2; 11

a + b  = 2⇒ (a; b) =(1; 1); (2; 0) ⇒ \(\overline{abcd}\) = 1125; 2025

a + b = 11 ⇒(a;b) =(2;9); (3;8); (4; 7); (5; 6); (6;5); (7;4); (8; 3); (9;2)

⇒ \(\overline{abcd}\) = 2925; 3825; 4725; 5625; 6525; 7425; 8325; 9225

 Vì 2025 = 45²; 5625 = 75² vậy số thỏa mãn đề bài là: 2025 và 5625

Ta nhận thấy rằng nếu a = 2 thì \(9\overline{abcd}\) là một số có nhiều hơn 4 chữ số (trái với giả thiết)

Vậy 0< a <2 , mà a là số tự nhiên nên a = 1 thỏa mãn đề bài.

Suy ra \(9\times\overline{1bcd}=\overline{dcb1}\)

Chú ý rằng 9d có tận cùng bằng 1 khi d = 9 (duy nhất)

Vậy ta có \(9\times\overline{1bc9}=\overline{9cb1}\)

Mặt khác, vế trái của đẳng thức chia hết cho 9 , vậy vế phải cũng chia hết cho 9.

Do vậy 9 + c + b + 1 = 10 + b + c chia hết cho 9

Vậy b+c chỉ thuộc các giá trị là 8 và 17 (các giá trị lớn hơn loại vì b+c < 19)

Với mỗi trường hợp ta chọn các giá trị của b từ 1 đến 9 , đồng thời ta cũng tìm được giá trị của c tương ứng.

Tới đây bạn tự làm nhé ^^