1. Ta có:

3A = 3^2 + 3^3+3^4+...+3^101

=> 3A-A= (3^2+3^3+3^4+...+3^101) - (3+3^2+3^3+...+3^100)

<=> 2A= 3^101-3

=> 2A +3 = 3^101

Mà 2A+3=3^n

=> 3^101 = 3^n => n=101

2. M=3+3²+3³+3⁴+...+3¹⁰⁰

=>3M=3²+3³+3⁴+3⁵+...+3¹⁰¹

=>3M-M= 3¹⁰¹-3 ( chỗ này bạn tự làm được nhé) 

=>   M=\(\frac{3^{101}-3}{2}\)

a) Ta co : 3¹⁰¹=(3⁴)²⁵ .3=81²⁵.3

Bạn học đồng dư thức rồi thì xem:

  Vì 81 đồng dư với 1 (mod 8) => 81²⁵ đồng dư với 1 (mod 8)=> 81²⁵.3 đồng dư với 1.3=3(mod 8)

=> 81²⁵.3-3 đồng dư với 3-3=0 (mod 8)=> 81²⁵.3-3 chia hết cho 8

=>\(\frac{81^{25}.3-3}{2}\)chia hết cho 4=> M chia hết cho 4 (1)

Ma M=3¹⁰¹-3 chia hết cho 3                              (2)

Từ (1) và (2) => M chia hết cho 12

b)\(2\left(\frac{3^{101}-3}{2}\right)+3=3^n\)

=> 3¹⁰¹-3 +3 =3ⁿ

=> 3¹⁰¹=3ⁿ=> n = 101

Nguyễn Duy Long sai rồi

phải thêm là:Mặt khác 12=3.4 và 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (3)

Từ (1);(2) và (3) suy ra M chia hết cho 12

NHỚ TK MÌNH NHA ĐẢM BẢO ĐÚNG 100% LUÔN ĐÓ

3/4 +3 =

1: a chia 3 dư 2 nên a=3k+2

4a+1=4(3k+2)+1

=12k+8+1

=12k+9=3(4k+3) chia hết cho 3

2:

a: 36 chia hết cho 3x+1

=>\(3x+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;9;-9;12;-12;18;-18;36;-36\right\}\)

mà x là số tự nhiên

nên 3x+1 thuộc {1;4}

=>x thuộc {0;1}

b: 2x+9 chia hết cho x+2

=>2x+4+5 chia hết cho x+2

=>5 chia hết cho x+2

=>x+2 thuộc {1;-1;5;-5}

=>x thuộc {-1;-3;3;-7}

mà x thuộc N

nên x=3

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1 và a+2

TH1: Nếu a chia hết cho 3 => Đề bài đúng

TH2: Nếu a chia 3 dư 1 => a= 3k +1 (k thuộc N)

=> a+2 = 3k+1+2= 3k+3=3(k+1) chia hết cho 3 => a+2 chia hết cho 3 => Đề bài đúng

TH3: Nếu a chia 3 dư 2 => a=3k +2 (k thuộc N)

=> a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3 = 3(k+1) chia hết cho 3 => a+1 chia hết cho 3 => Đề bài đúng

TH1 , TH2 , TH3 => Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 (ĐPCM)

Bài 5:

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là b; b+1; b+2 và b+3

Tổng 4 số: b + (b+1) + (b+2) + (b+3) = (b+b+b+b) + (1+2+3) = 4b + 6 = 4(b+1) + 2

Ta có: 4(b+1) chia hết cho 4 vì 4 chia hết cho 4

Nhưng: 2 không chia hết cho 4

Nên: 4(b+1)+2 không chia hết cho 4

Tức là: b+(b+1)+(b+2)+(b+3) không chia hết cho 4 

Vậy: Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 (ĐPCM)

Bài 3: 

\(\overline{7a4b}\) ⋮ 4 ⇒ \(\overline{4b}\)⋮ 4 ⇒ b = 0; 4; 8

Nếu b = 0 ta có: \(\overline{7a40}\)⋮ 7 

⇒ 7040 + a \(\times\) 100 ⋮ 7

1005\(\times\) 7+ 5 + 14a + 2a ⋮ 7 

        5 + 2a ⋮ 7 ⇒ 2a = 2; 9; 16⇒ a = 1; \(\dfrac{9}{3}\);8 (1)

Nếu b = 8 ta có: \(\overline{7a4b}\) = \(\overline{7a48}\)⋮ 7 

⇒ 7048 + a\(\times\) 100 ⋮ 7

1006\(\times\) 7 + 6 + 14a + 2a ⋮ 7

       6 + 2a ⋮ 7 ⇒ 2a = 1; 8; 15 ⇒ a = \(\dfrac{1}{2}\); 4; \(\dfrac{15}{2}\) (2)

Nếu b = 4 ta có: \(\overline{7a4b}\)  =  \(\overline{7a44}\) ⋮ 7

⇒ 7044 + 100a ⋮ 7

1006.7 + 2 + 14a + 2a ⋮ 7 

       2 + 2a ⋮ 7 ⇒ 2a = 5; 12;19 ⇒ a = \(\dfrac{5}{2}\); 6; \(\dfrac{9}{2}\) (3)

Kết hợp (1); (2); (3) ta có:

(a;b) = (1;0); (8;0); (4;8); (6;4)