ΔABC cân tại A suy ra 

Ta lại có :

- ΔABM và ΔACN có

      AB = AC (Do ΔABC cân tại A).

      BM = CN(gt)

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c)

⇒ AM = AN (hai cạnh tương ứng) ⇒ ΔAMN cân tại A.

Từ đỉnh A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) (1)

Ta có : tam giác ABC cân tại A (gt) (2)

Từ(1) và(2)=> HB=HC(=1/2 BC) (3)

Lại có: BM=CN (gt) (4)

M nằm trên tia đối của tia BC, N nằm trên tia đối của tia CB => M,B,C.N thẳng hàng (5)

Từ (3)và (4)=>HB+BM=HC+CN (6)

Từ  (5) và (6)=>AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác AMN

=> Tam giác AMN cân tại A (đpcm)

Xét ΔBAM và ΔCAN có 

AB=AC

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

BM=CN

DO dó: ΔBAM=ΔCAN

Suy ra: AM=AN

hay ΔAMN cân tại A

a: BM/CN=BD/CD=AB/AC

=>AB/BM=AC/CN

Xét ΔAMN có AB/BM=AC/CN

nên BC//MN

b: ΔBDM cân tại B

=>góc BMD=góc BDM

=>góc BMD=góc DMN

=>MD là phân giác của góc AMN

a) ΔABC cân tại A suy ra 

Ta lại có :

- ΔABM và ΔACN có

      AB = AC (Do ΔABC cân tại A).

      BM = CN(gt)

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c)

⇒ AM = AN (hai góc tương ứng) ⇒ ΔAMN cân tại A.

b) Hai tam giác vuông BHM và CKN có

      BM = CN (gt)

⇒ ΔBHM = ΔCKN (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

c) Theo câu b ta có ΔBHM = ΔCKN ⇒HM = KN (hai góc tương ứng)

Mà AM = AN ⇒ AM –MH = AK – KN hay AH = AK.

d) ΔBHM = ΔCKN

Vậy tam giác OBC là tam giác cân tại O.

e) Khi góc BAC = 60º và BM = CN = BC

Tam giác cân ABC có góc BAC = 60º nên là tam giác đều

⇒ AB = BC và góc B1 = 60º

Ta có: AB = CB, BC = BM (gt) ⇒ AB = BM ⇒ ΔABM cân ở B ⇒ 

Mà theo tính chất góc ngoài trong ΔBAM thì

Tương tự ta có

Tam giác cân OBC có góc B3=60º nên ΔOBC là tam giác đều.

a) tam giác ABC cân 

=> góc ABC=góc ACB

góc MBA+góc ABC=180độ (kề bù)

góc NCA+góc ACB=180độ(kề bù)

=> góc ABM=góc ACN

xét 2 tam giác ABM và ACN có: 

AB=AC(tam giác ABC cân )

góc ABM=góc ACN(chứng minh trên)

BM=CN(gt)

=> 2 tam giác ABM=ACN(c.g.c)

=> AM=AN(2 cạnh tương ứng)

=> tam giác AMN cân ở A

b) tam giác AMN cân ở A

=> góc M=góc N

xét 2 tam giác MHB và NKC có:

góc MHB=góc NKC(=90độ)

MB=NC(gt)

góc M =góc N(chứng minh trên)

=> 2 tam giác MHB=NKC(cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH=CK(2 cạnh tương ứng)

c) ta có : AM=AN  (theo a) 

               HM=KN (tam giác MHB=tam giác NKC)

AM = AH+HM

AN= AK+ KN 

=> AH= AK

d) tam giác MHB=tam giác NKC(theo b) 

=> góc HBM=góc KCN(2 góc tương ứng)

góc HBM=góc OBC(đối đỉnh)

góc KCN=góc OCB(đối đỉnh)

=> góc OBC=góc OCB

=> tam giác OBC cân ở O

e) tam giác ABC có AB=AC ; góc BAC=60độ 

=> tam giác ABC đều 

=> AB=AC=BC

mà BC=BM(gt)

=> BM=AB

=>tam giác ABM cân ở B

góc ABC + góc ABM=180độ (kề bù)

=> góc ABM =180độ - góc ABC

                     =180độ-60độ

                     =120độ

tam giác ABC cân ở B 

=> góc BAM=góc BMA =(180độ-góc ABM) / 2=$\frac{{180}^0-{120}^0}{2}=\frac{{60}^0}{2}={30}^0$

vậy góc AMN=30độ

Khi góc BAC = 60º và BM = CN = BC

Tam giác cân ABC có góc BAC = 60º nên là tam giác đều

⇒ AB = BC và góc B1 = 60º

Ta có: AB = CB, BC = BM (gt) ⇒ AB = BM ⇒ ΔABM cân ở B ⇒ 

Mà theo tính chất góc ngoài trong ΔBAM thì

Tương tự ta có

* Ta chứng minh tam giác OBC là tam giác đều.