Bạn đọc tự vẽ hình. 

Xét tam giác \(AA'C\)có \(M,B,B'\)lần lượt nằm trên các cạnh \(AA',A'C,CA\)và \(M,B,B'\)thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có: 

\(\frac{MA}{MA'}.\frac{BA'}{BC}.\frac{B'C}{B'A}=1\Leftrightarrow\frac{MA}{MA'}.\frac{BA'}{BC}=\frac{B'A}{B'C}\)

Tương tự khi xét tam giác \(AA'B\)với các điểm \(M,B,B'\)ta cũng có: 

\(\frac{MA}{MA'}.\frac{CA'}{CB}=\frac{C'A}{C'B}\)

Suy ra \(\frac{B'A}{B'C}+\frac{C'A}{C'B}=\frac{MA}{MA'}\left(\frac{BA'}{BC}+\frac{CA'}{CB}\right)=\frac{MA}{MA'}.\frac{BC}{BC}=\frac{MA}{MA'}\).

Ta có đpcm. 

\(\frac{AM}{A'M}=\frac{AE}{BA'}=\frac{AD}{A'C}=\frac{AD+AE}{A'C+A'B}=\frac{DE}{BC}\)

\(\Delta CBB'\)có AE // BC , nên \(\frac{AB'}{B'C}=\frac{AE}{BC}\)( hệ quả của định lí Ta-lét);

\(\Delta BCC'\)có DA // BC , nên \(\frac{AC'}{BC'}=\frac{DA}{BC}\)( hệ quả của định lí Ta-lét).

Ta có : \(\frac{AB'}{CB'}=\frac{AC'}{BC'}=\frac{AE}{BC}+\frac{DA}{BC}=\frac{DE}{BC}\)

Do đó : \(\frac{AM}{A'M}=\frac{AB'}{CB'}+\frac{AC'}{BC'}\)

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt ��′BB′ tại $D$ và cắt ��′CC′ tại $E$.

Khi đó 

$\Delta AME$ có $AE$ // �′�A′C suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′CAE​ (1)

$\Delta AMD$ có $AD$ // �′�A′B suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′BAD​ (2)

Từ (1) và (2) ta có ���′�=���′�=���′�=��+���′�+�′�=����A′MAM​=A′CAE​=A′BAD​=A′C+A′BAD+AE​=BCDE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Δ��′�ΔAB′D có $AD$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����B′CAB′​=BCAD​ (3)

Δ��′�ΔAC′E có $AE$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����C′BAC′​=BCAE​ (4)

Từ (3) và (4) ta có ��′�′�+��′��′=����+����=����B′CAB′​+BC′AC′​=BCAD​+BCAE​=BCDE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có ���′�=����=��′�′�+��′��′A′MAM​=BCDE​=B′CAB′​+BC′AC′​ (đpcm).

Qua $A$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt ��′BB′ tại $D$ và cắt ��′CC′ tại $E$.

Khi đó 

$\Delta AME$ có $AE$ // �′�A′C suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′CAE​ (1)

$\Delta AMD$ có $AD$ // �′�A′B suy ra ���′�=���′�A′MAM​=A′BAD​ (2)

Từ (1) và (2) ta có ���′�=���′�=���′�=��+���′�+�′�=����A′MAM​=A′CAE​=A′BAD​=A′C+A′BAD+AE​=BCDE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Δ��′�ΔAB′D có $AD$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����B′CAB′​=BCAD​ (3)

Δ��′�ΔAC′E có $AE$ // $BC$ suy ra ��′�′�=����C′BAC′​=BCAE​ (4)

Từ (3) và (4) ta có ��′�′�+��′��′=����+����=����B′CAB′​+BC′AC′​=BCAD​+BCAE​=BCDE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có ���′�=����=��′�′�+��′��′A′MAM​=BCDE​=B′CAB′​+BC′AC′​ (đpcm).

AB

trong sách nâng cao phát triển toán 8 có bạn nhé

Đây là định lý Ceva nhé bạn!

Giả sử AA', BB', CC' đồng quy tại O.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{A'B}{A'C}=\dfrac{S_{OA'B}}{S_{OA'C}}=\dfrac{S_{AA'B}}{S_{AA'C}}=\dfrac{S_{AA'B}-S_{OA'B}}{S_{AA'C}-S_{OA'C}}=\dfrac{S_{OAB}}{S_{OAC}}\).

Chứng minh tương tự: \(\dfrac{B'C}{B'A}=\dfrac{S_{OBC}}{S_{OBA}};\dfrac{C'A}{C'B}=\dfrac{S_{OAC}}{S_{OBC}}\).

Nhân vế với vế của các đẳng thức trên ta có đpcm.

P/s: Ngoài ra còn có các cách khác như dùng định lý Thales,..)