Cho 3 số thực x,y,z khác nhau thỏa mãn \(^{x^3+y^3+z^3=3xyz}\). Tính \(\frac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) và \(xyz\ne0\). Tính: \(B=\dfrac{16.\left(x+y\right)}{z}+\dfrac{3.\left(y+z\right)}{x}-\dfrac{2019.\left(x+z\right)}{y}\)
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{matrix}\right.\)
\(B=\dfrac{16.\left(-z\right)}{z}+\dfrac{3.\left(-x\right)}{x}-\dfrac{2019.\left(-y\right)}{y}=2019-19=2000\)
Cho ba số nguyên x,y,z và x3+y3+z3=3xyz.
\(P=\frac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\).Giá trị P=?
Đề chưa chuẩn: tuy nhiên đánh vào -2016 => đáp án đúng:
Vì bản chất như sau:
thỏa ĐK ban đầu x^3+y^3+z^3=3xzy
Từ HĐT=>
\(\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\left(2\right)\end{cases}}\)
=>(1)&(2) đều có cặp nghiệm x=y=z=0 khi đó P không xác định
do vậy đề thiếu điều kiện x,y,z không đồng thời =0:(*)
Nếu thêm đk (*) giải tiếp
(2) vô nghiệm
do vậy khi đó chỉ có nghiệm duy nhất của (1)
x+y=-z
x+z=-y
z+y=-x
Thay vào biểu thwucs P=-2016
Đây cũng là lý do mình không thích thi VIOLIMPIC
nhiều đáp án sai--> đề sai--> gây ức chế--> không thi
Cho x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện x3+y3+z3=3xyz và x+y+z=0.Tính giá trị của biểu thức:
\(M=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
<=> X3 + Y3 + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X3 + Y3 ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X + Y )3 - 3XY( X + Y ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> [ ( X + Y )3 + Z3 ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0
<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )2 - ( X + Y ).Z + Z2 - 3XY ] = 0
<=> ( X + Y + Z )( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)
+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)
+) X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ = 0
<=> 2( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> 2X2 + 2Y2 + 2Z2 - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0
<=> ( X2 - 2XY + Y2 ) + ( Y2 - 2YZ + Z2 ) + ( X2 - 2XZ + Z2 ) = 0
<=> ( X - Y )2 + ( Y - Z )2 + ( X - Z )2 = 0 (1)
DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z
DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
Khi x + y + z = 0
=> x + y = -z
=> x + z = - y
=> y + z = - x
Khi đó M = \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=\(\frac{yz}{x^3\left(z+2y\right)}+\frac{zx}{y^3\left(x+2z\right)}+\frac{xy}{z^3\left(y+2x\right)}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\). Tìm Min:\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(b+2c\right)}\)
Auto làm nốt:3
cho x,y,z >0 thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
tính \(P=\frac{\left(x-y\right)^{2017}}{x+y}+\frac{\left(y-z\right)^{2018}}{y+z}+\frac{\left(z-x\right)^{2019}}{x+z}\)
x^3+y^3+z^3-3xyz = 0
<=> (x+y+z).(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = 0
Mà x+y+z > 0 => x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = 0
<=> 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx = 0
<=> (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0
=> x-y=0;y-z=0;z-x=0
=> P = 0
k mk nha
cho các số thỏa mãn x+y+z=1000
tính \(Q=\frac{x^3}{\left(x-y\right).\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(Q=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}-\frac{y^3}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-z\right)+z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)(1)
Ta có:
\(x^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-z\right)+z^3\left(x-y\right)\)
\(=x^3\left(y-z\right)-y^3\left(y-z\right)-y^3\left(x-y\right)+z^3\left(x-y\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x^3-y^3\right)-\left(x-y\right)\left(y^3-z^3\right)\)
\(=\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xy+y^2-y^2-yz-z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xy-yz-z^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left[\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y\left(x-z\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x+y+z\right)=1000\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\)(2)
Từ (1) và (2), ta có Q = 1000
cho các số x,y,z đôi một khác nhau thoae mãn \(x^3\left(y-z\right)+z^3\left(x-y\right)=y^3\left(z-x\right)\)
CMR \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Cho 3 số phân biệt \(x,y,z\in R\) sao cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz\). Tính \(P=\dfrac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
⇔ \(\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
⇔ \(\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+z^2-2xz+x^2+y^2-2yz+z^2\right)=0\) ⇔ \(\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
Do : x , y , z là ba số thực phân biệt , ta có :
\(x+y+z=0\)
⇔ \(x+y=-z;y+z=-x;x+z=-y\)
Khi đó , ta có : \(P=\dfrac{2016xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}=\dfrac{2016xyz}{-xyz}=-2016\)
Cho x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn: x3+y3+z3= 3xyz (xyz \(\ne0\))
\(T\text{ính}B=\frac{16\left(x+y\right)}{z}+\frac{3\left(y+z\right)}{x}-\frac{2038\left(x+z\right)}{y}\)
(x+y)^3 - 3xy(x+y) + z^3 - 3xyz = 0
(x+y+z) ( (x+y)^2 +z^2 -z(x+y) -3xy) =0
(x+y+z) ( x^2+ 2xy+y^2 +z^2- zx-zy-3xy)=0
(x+y+z) ( x^2+y^2+z^2 -zx-zy -xy)=0
Suy ra x+y+z =0
x+y = -z
y+z = -x
x+z = -y
B = -16 + (-3) +2038 = 2019
Ta có: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\left(x,y,z\ne0\right)\)
+) x + y + z = 0 \(\Rightarrow B=\frac{-16z}{z}+\frac{-3x}{x}-\frac{-2038y}{y}\)
\(=-16-3+2038=2019\)
+) x = y = z \(\Rightarrow B=\frac{16.2z}{z}+\frac{3.2x}{x}-\frac{2038.2y}{y}\)
\(=32+6-4076=-4038\)
Cho em hỏi chút ạ, trường hợp x=y=z suy ra ntn ạ?