Theo đề ra ta có : a+b+c=2

Mà theo bđt tam giác thì 

a < b + c 

=> a + a < a + b + c 
=> 2a < 2 
=> a < 1 => a-1<0

Bạn làm tương tự thì có b<1 => b-1 <0 và c<1 => c-1<0

Nhân vế theo vế : 

(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
=> (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
=> 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
=> 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
=> 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
=> a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
=> a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
=> a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
=> a² + b² + c² + 2abc < 2 (đpcm 

- k mình nhé <33

Tổng độ dài của 3 cạnh đầu là :
 2/5 + 1 + 13/5 = 4 (m )
Cạnh thứ tư có đội dài là :
 4 x 3 : 5 = 2,4 hay 12/5 
- Cuối cùng, bạn cộng cạnh thứ tư với 3 cạnh kia là được <33
Chúc bạn học tốt <33

Tổng độ dài 3 cạnh là: \(\frac{2}{5}+1+\frac{13}{5}=\frac{20}{5}=4\)(m)

=> Cạnh thứ tư có độ dài là: 4.3/5=\(\frac{12}{5}\)

=> Chu vi tứ giác đó là: 4+\(\frac{12}{5}\)=\(\frac{32}{5}\)(m)

ĐS: \(\frac{32}{5}\)(m)

do (a-b)²\(\ge\)0 ;(b-c)²\(\ge\)0

\(\Rightarrow\)(a-b)²+(b-c)²\(\ge\)0

mà (a-b)²+(b-c)²=0 (đề bài cho)

\(\Rightarrow\)(a-b)²=0;(b-c)²=0

\(\Rightarrow\)a-b=b-c=0

\(\Rightarrow\)a=b=c

Vậy tam giác ABC đều

Từ a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc = 0

<=> (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b) - 3abc = 0

<=> (a + b + c)(a² + 2ab + b² - ac - bc + c²) - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> a = b = c

=> tam giác đó là tam giác đều

b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

CM đúng (tự cm tđ)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0

Ta có : a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

<=> ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - ac - bc ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0 

Xét TH còn lại ta có :

a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0

<=> 2(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 2.0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ac + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )

b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)( do GT x + y + z = 1 )

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Schur cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác:

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(2-2b)(1-2c)\)

\(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\)

Do đó: \(A=a^2+b^2+c^2+4abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}-\frac{4}{9}\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{-2(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{-2}{27}\)

Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{29}{27}\Rightarrow A\geq \frac{29}{27}-\frac{4}{9}=\frac{13}{27}\)

Do đó ta có đpcm

Dấu $=$ xảy ra khi $3a=3b=3c=1$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.

\(m=4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)

\(=\left(\left(a+b\right)^2-c^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)\)

Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên tổng của 2 cạnh luôn lớn hơn 1 cạnh và 3 cạnh đều dương

Nên \(\Rightarrow m>0\)

M=4a²b²-(a²+b²-c²)²

=(2ab)²-(a²+b²-c²)²

=(2ab-a²-b²+c²)(2ab+a²+b²-c²)

=(c²-a²+2ab-b²)(a²+2ab+b²-c²)

=[c²-(a²-2ab+b²)][(a²+2ab+b²)-c²]

=[c²-(a-b)²][(a+b)²-c²]

=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

đáp án là 32/5 bạn nhé