a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC

b: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3.6\left(cm\right)\)

CH=BC-BH=6,4(cm)

Bạn ơi, bạn chụp hình lại đi bạn

1, Áp dụng PTG: \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}CH=\dfrac{AC^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\approx\sin53^0\\ \Rightarrow\widehat{B}\approx53^0\\ \Rightarrow\widehat{C}\approx90^0-53^0=37^0\)

2, 

a, Áp dụng HTL: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\cdot AB=AH^2\\AE\cdot AC=AH^2\end{matrix}\right.\Rightarrow AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b, \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AED\left(c.g.c\right)\)

a)

Δ\(ABD\) có \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat{ADB}\)  \(\left(M\in AB\right)\)

⇒ \(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{DA}{DB}\)         (1)

b)

Δ\(ACD\) có \(AN\) là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)  \(\left(N\in AC\right)\)

⇒ \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{DA}{DC}\)         (2)

Từ \(\left(1\right)và\left(2\right)\), mà \(BD=CD\left(gt\right)\)

⇒ \(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{NA}{NC}\)

⇒ \(MN\) // \(BC\)         \(\left(ĐPCM\right)\)

c)

Δ\(ABC\) có \(MN\) // \(BC\) nên:

⇒ \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

⇒ \(AM.AC=AN.AB\)        

Ta có: \(MN\) //\(BC\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{M_1}=\widehat{D_1}\\\widehat{N_1}=\widehat{D_4}\end{matrix}\right.\)

\(Mà\) \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\\\widehat{D_3}=\widehat{D_4}\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{M_1}=\widehat{D_2}\\\widehat{N_1}=\widehat{D_3}\end{matrix}\right.\)

Δ\(MKD\) có \(\widehat{M_1}=\widehat{D_2}\) ⇒ \(\text{Δ}MKD\) cân tại K

⇒ \(MK=KD\)        \(\left(3\right)\)

Δ\(NKD\)  có \(\widehat{N_1}=\widehat{D_3}\) ⇒ \(\text{Δ }NKD\) cân tại K

⇒ \(KN=KD\)             \(\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) ⇒ \(MK=KN\)

hay K là trung điểm của MN

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

=>AD=ED

b: Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

BE=BA

góc EBF chung

=>ΔBEF=ΔBAC

=>BF=BC

2BF=BF+BC>FC

Để chứng minh a là trung điểm của HK, ta cần chứng minh rằng a là trung điểm của HK.

Gọi a là trung điểm của HK, ta cần chứng minh rằng HA = AK.

Ta có:

- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC thành hai phần bằng nhau. Vậy H là trung điểm của BC.

- Ta biết MN là đường thẳng vuông góc với BC, nên HK là đường cao của tam giác MNK và cắt MN thành hai phần bằng nhau. Vậy K là trung điểm của MN.

Vậy ta có AH = HK và AK là đường trung bình của tam giác AMN.

Ta cần chứng minh AK = HA.

Gọi P là giao điểm của AK và HA.

Ta có:

- Ta biết AH = HK, nên tam giác AHK là tam giác cân tại H. Vậy góc AHK = góc AKH.

- Ta biết MN là đường thẳng vuông góc với BC, nên tam giác MNK là tam giác vuông tại K. Vậy góc MNK = 90 độ.

- Ta biết AK là đường trung bình của tam giác AMN, nên góc AKH = góc MNK.

Từ các quan sát trên, ta có:

góc AHK = góc AKH = góc MNK = 90 độ.

Vậy tứ giác AKHG là hình chữ nhật với AK = HG.

Vậy ta đã chứng minh được a là trung điểm của HK.