cho các số thực dương a và b thay đổi thõa mãn đồng thời các điều kiện : [ a ] = [b] , a<b chứng minh 1+b2 / 1+a2 <2,5 ( trông đó kí hiệu[x ] là phần nguyên của x
Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
\(|a-2b|\le\frac{1}{\sqrt{a}},|b-2a|\le\frac{1}{\sqrt{b}};\)Tìm giá trị lớn nhất của tích ab.
cho các số dương a và b thõa mãn điều kiện a100+b100=a101+b101=a102+b102 .Cmr : a+b/ab=a2+b2/ab
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)=\left(a^{101}+b^{101}\right)^2\)
\(\Rightarrow a^{202}+b^{202}+a^{100}b^{102}+a^{102}b^{100}=a^{202}+b^{202}+2a^{101}b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{100}b^{100}\left(a^2+b^2\right)=a^{100}b^{100}\left(2ab\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=2ab\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b\)
Thế vào \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{100}+a^{100}=a^{101}+a^{101}\)
\(\Rightarrow2a^{100}\left(a-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\)
\(\Rightarrow...\)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện: a+b+c=1.
Tìm GTNN của biểu thức:
M=14(\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\))+\(\dfrac{ab+ac+bc}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
Cho các số dương a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện b<a<=2 và a+b<=3
Tìm GTLN của P=a3+b3
tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện √(a-b+c) =√a -√b +√c và 1/a +1/b +1/c =1
vì a-b+c => 3-3+3=3 và 1/3+1/3+1/3=3/3=1 =>a,b,c=3
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( a, b, c, d) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
ab=c+d và a+b=cd
Cho hai số thực a,b thay đổi thỏa mãn điều kiện\(a+b\ge1\) và \(a>0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\) Tìm GTLN của biểu thức: \(A=a+b+c\)
Cho các số dương a và b thõa mãn điều kiện \(a+b=1\)
CMR : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
Ta có : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) ( vì \(ab>0\) )
\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) ( vì \(a+b=1\) )
\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ( Vì \(a+b=1\) ) \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(2\right)\)
BĐT ( 2 ) đúng , mà các phép biến đổi trê tương đương , vây BĐT ( 1 ) được chứng minh . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b\)
Tìm tất cả các số thực a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện a2 + b2 + c2 = 38, a + b = 8 và
b + c ≥ 7
Xin lỗi nhé!
Áp dụng BĐT ta có:
`a^2+9>=6a`
`b^2+25>=10b`
`c^2+4>=4a`
`=>a^2+b^2+c^2+38>=6a+10b+4c`
`<=>76>=6a+10b+4c(1)`
Ta có:
`6a+10b+4c`
`=6(a+b)+4(b+c)`
`=48+4(b+c)>=48+4.7=76(2)`
`(1)(2)=>6a+10b+4c=76`
`<=>a=3,b=5,c=2`
Do \(a^2+b^2+c^2=38\Rightarrow\left|b\right|\le\sqrt{38}< 7\)
\(\Rightarrow c\ge7-b>0\)
\(\Rightarrow c^2\ge\left(7-b\right)^2\)
Do đó:
\(38=\left(8-b\right)^2+b^2+c^2\ge\left(8-b\right)^2+b^2+\left(7-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow5\left(b-5\right)^2\le0\)
\(\Leftrightarrow b=5\Rightarrow a=3;c=2\)
Áp dụng BĐT ta có:
`a^2+9>=6a`
`b^2+25>=10b`
`c^2+4>=4a
`=>a^2+b^2+c^2+38>=6a+10b+4c`
`<=>76>=6a+10b+4c(1)`
Ta có:
`6a+10b+4c`
`=6(a+b)+4(b+c)`
`=48+4(b+c)>=48+4.7=76(2)`
`(1)(2)=>6a+10b+4c=76`
`<=>a=3,b=5,c=2`