a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nen CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là trung trực của AM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của MB

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

b: CD=CM+MD

=>CD=AC+BD

c: Xét tứ giác OEMF có

góc OEM=góc OFM=góc EOF=90 độ

nên OEMF là hình chữ nhật

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)

=>\(\widehat{COM}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOA}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

=>\(\widehat{MOD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)

\(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOA}+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=CM\cdot MD\)

=>\(AC\cdot BD=R^2\) 

c: CM=CA

OM=OA

Do đó: CO là đường trung trực của AM

=>CO\(\perp\)AM tại E

DM=DB

OM=OB

Do đó: OD là đường trung trực của MB

=>OD\(\perp\)MB tại F

Xét tứ giác MEOF có

\(\widehat{MEO}=\widehat{MFO}=\widehat{FOE}=90^0\)

=>MEOF là hình chữ nhật

=>EF=OM=R

1: Xét (O) có

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có 

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Ta có: \(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}\)

\(=\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)\cdot\dfrac{1}{2}\)

\(=180^0\cdot\dfrac{1}{2}=90^0\)

hay ΔCOD vuông tại O 

Xét (O) có

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: DB=DM

\(AC\cdot BD=CM\cdot MD=OM^2\) không phụ thuộc vào vị trí của M

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

DO đó: CM=CA  và OC là phân giác của góc AOM

=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của MA(2)

từ (1) và (2) suy ra CO là đường trung trực của MA

OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

DM=DB

nên D nằm trên đường trung trực của BM(3)

OM=OB

=>O nằm trên đường trung trực của BM(4)

Từ (3) và (4) suy ra OD là là đường trung trực của BM

Ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét tứ giác OACM có

\(\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)

=>OACM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}\)

Xét ΔCOD vuông tại O và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{OCD}=\widehat{MAB}\)(cmt)

Do đó: ΔCOD đồng dạng với ΔAMB

b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(MC\cdot MD=R^2\) không đổi khi M di chuyển trên (O)

c: AB=2R

=>OA=OB=AB/2=R

Ta có: ΔCAO vuông tại A

=>\(CA^2+AO^2=CO^2\)

=>\(CA^2+R^2=\left(2R\right)^2\)

=>\(CA^2=3R^2\)

=>\(CA=R\sqrt{3}\)

\(MC\cdot MD=R^2\)

mà MC=AC và DM=DB

nên \(AC\cdot BD=R^2\)

=>\(BD\cdot R\sqrt{3}=R^2\)

=>\(BD=\dfrac{R}{\sqrt{3}}\)