Cho điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với (O) (M,N là 2 tiếp điểm).
a) Chứng minh : OA vuông góc MN
b) Vẽ đường kính NC. Chứng minh MC//OA
c) Biết OM= 3cm, OA=5cm. Tính chu vi \(\Delta AMN\)
Cho đường tròn (O), đểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm) a) Chứng minh: OAMN b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC // AO c) Tính chu vi AMN biết OM= 3cm và OA = 5cm
a) Xét (O) có
AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
AN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)
Do đó: AM=AN; OM=ON(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: AM=AN(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OM=ON(cmt)
nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN
hay AO⊥MN(đpcm)
b) Xét (O) có
ΔMNC nội tiếp đường tròn(C,M,N∈(O))
NC là đường kính
Do đó: ΔMNC vuông tại M(Định lí)
⇒MN⊥MC
Ta có: MN⊥MC(cmt)
MN⊥AO(cmt)
Do đó: MC//AO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOMA vuông tại M, ta được:
\(OA^2=OM^2+MA^2\)
\(\Leftrightarrow AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16\)
hay \(AM=\sqrt{16}=4cm\)
mà AM=AN(cmt)
nên AN=4cm
Gọi H là giao điểm của MN và AO
mà MN⊥AO tại trung điểm của MN
nên H là trung điểm của MN và MH⊥AO tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMO vuông tại M, ta được:
\(MH\cdot AO=MO\cdot MA\)
\(\Leftrightarrow MH\cdot5=4\cdot3=12\)
hay MH=2,4cm
mà \(MN=2\cdot MH\)(H là trung điểm chung của MN)
nên \(MN=2\cdot2.4=4.8cm\)
Chu vi tam giác AMN là:
\(C=AM+AN+MN=5+5+4.8=14.8cm\)
Cho (O;R). Từ điểm A nằm ngoài (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh tam giác AMN cân
b) Vẽ đường kính MB của đường tròn (O;R). Chứng minh rằng OA//NB
c) Vẽ dây NC của (O;R) vuông góc với MB tại H. Gọi I là giao điểm Của AB và NH. Tính tỉ số NI/NC
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng \(OA\perp MN\)
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm
a) ta có : AN = AM (tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A
OA là tia phân giác cũng là đường cao
\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) MN (đpcm)
b) đặc H là giao điểm của MN và AO
ta có MH = HN (OA \(\perp\) MN \(\Rightarrow\) H là trung điểm MN)
mà CO = CN = R
\(\Rightarrow\) OH là đường trung bình của tam giác MNC
\(\Rightarrow\) OH // MC \(\Leftrightarrow\) MC // OA (đpcm)
c) OM = ON = R \(\Rightarrow\) ON = 3 (cm)
ta có : ON2 + AN2 = AO2 (pytago) \(\Rightarrow\) AN2 = AO2 - ON2
= 52 - 32 = 25 - 9 = 16 \(\Rightarrow\) AN = \(\sqrt{16}=4\) (cm)
ta có : AO.HN = AN.NO (hệ thức lượng)
\(\Rightarrow\) 5HN = 4.3 = 12 \(\Rightarrow\) HN = \(\dfrac{12}{5}=2,4\) (cm)
ta có MN = 2HN = 2.2,4 = 4,8 (H là trung điểm MN)
vậy AM = AN = 4(cm) ; MN = 4,8(cm)
Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng a, cách a một khoảng 3cm. Vẽ đường tròn (O;5cm). Trên đường a lấy điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến AM với đường tròn (O), ( M là tiếp điểm). Vẽ dây MN vuông góc với OA. Chứng minh khi A di chuyển trên a thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Cho (O;R). Từ điểm A nằm ngoài (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh tam giác AMN cân
b) Vẽ đường kính MB của đường tròn (O;R). Chứng minh rằng OA//NB
c) Vẽ dây NC của (O;R) vuông góc với MB tại H. Gọi I là giao điểm Của AB và NH. Tính tỉ số NI/NC
Cho (O;R). Từ điểm A nằm ngoài (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh tam giác AMN cân
b) Vẽ đường kính MB của đường tròn (O;R). Chứng minh rằng OA//NB
c) Vẽ dây NC của (O;R) vuông góc với MB tại H. Gọi I là giao điểm Của AB và NH. Tính tỉ số \(\frac{NI}{NC}\)
Cho đường tròn (O,R) điểm A nằm bên ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) vẽ đường kính CD của đường tròn O. Chứng minh :
a)OA vuông góc BC
b)BD // OA
c)Cho R =6cm, AB =8cm. Tính BC.
(Mình cần gấp!)
a
Theo giả thiết có:
`AB=AC`
`OB=OC`
=> AO là đường trung trực của đoạn BC
=> AO⊥BC
b
Ta có:
`OB=OC=R`
Gọi điểm giao nhau của BC và OA là H có:
`HB=HC`
Từ trên suy ra: HO là đường trung bình của ΔCDB
=> HO//BD
=> OA//BD (H nằm trên đoạn OA)
c
AB là tiếp tuyến đường tròn.
=> OB⊥AB
Lại có: BH⊥OA (cmt)
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAB vuông tại B, đường cao BH có:
\(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{OB^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{6^2}\\ \Rightarrow BH=\sqrt{1:\left(\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{6^2}\right)}=\dfrac{24}{5}=4,8\left(cm\right)\)
\(BC=2BH\left(BH=HC\right)\\ \Rightarrow BC=2.4,8=9,6\left(cm\right)\)
Từ M nằm ngoài (O;R). Vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB với đường tròn(O);(A,B là tiếp điểm).H là giao điểm của AB và OM
a) Chứng minh : OM vuông góc với AB và AM^2 = MO.MH
b) vẽ đường kính AC của đường tròn tâm O , MC cắt đường tròn tâm O tại D. Chứng minh :∆ACD vuông và MH.MO=MD.MC
c) MC cắt AB tại K , OM cắt (O) và AD lần lượt tại F và I . Chứng minh KI vuông góc với AM tại E và KE/AK= HE/HB + FH/MB
a/
Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có
MA=MB (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)
OA=OB=R
=> tg AMO = tg BMO (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\)
Xét tg MAB có
MA=MB (cmt) => tg MAB cân tại M
\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\) (cmt)
\(\Rightarrow OM\perp AB\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
Xét tg vuông AMO có
\(AM^2=MO.MH\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giưa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
b/
Ta có \(\widehat{ADC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => tg ACD vuông tại D \(\Rightarrow AD\perp MC\)
Xét tg vuông AMC có
\(AM^2=MD.MC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giưa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Ta có
\(AM^2=MO.MH\) (cmt)
\(\Rightarrow MH.MO=MD.MC\)
c/ Xét tg AMK có
\(OM\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow OH\perp AK\)
\(AD\perp MC\left(cmt\right)\Rightarrow AD\perp MK\)
\(\Rightarrow KI\perp AB\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)
Phần còn lại không biết điểm E là điểm nào?
Cho ( O,R ) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyết AM,AN với đường tròn ( M,N là các tiếp điểm )
a) chứng minh : OA là trung trực của MN
b) Kẻ đường kính ME . Chứng minh NE//AO
c) Tính độ dài đoạn thẳng OA , AM biết R=2cm , GÓC MON =120 độ
a: Xét (O) có
AM,AN là tiếp tuyến
nên AM=AN
mà OM=ON
nên OA là trung trực của MN
b: Xet (O) có
ΔMNE nội tiếp
ME là đườngkính
=>ΔMNE vuông tại N
=>NE//OA