Câu 2 thế y = 1 - x rồi quy đồng như bình thường là ra bn nhé

Ta có: a³+b³+c³=3abc <=> a³+b³+c³-3abc=0

<=>\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

<=>\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

<=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

<=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

<=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

Mà a+b+c khác 0

=>\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

<=>\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

<=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=>\(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}}a=b=c}\)

=>\(N=\frac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3a^2}{\left(3a\right)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}\)

- Ta có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

=> \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Mà \(a+b+c\ne0\)

=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

=> \(\frac{\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2ac+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)}{2}=0\)

=> \(\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}=0\)

=> \(a-b=b-c=c-a=0\)

=> \(a=b=c\)

- Thay a = b = c vào biểu thức N ta được :

\(N=\frac{a^2+a^2+a^2}{\left(a+a+a\right)^2}=\frac{3a^2}{9a^2}=\frac{1}{3}\)

Vậy giá trị của N = \(\frac{1}{3}\) khi \(a^3+b^3+c^3=3abc\) và \(a+b+c\ne0\)

Có: (a+b+c)²=a²+b²+c²

=> a² +b² +c² +2(a*b+b*c+c*a)=a² +b² +c²

=>2*(a*b+b*c+c*a) = 0

=>a*b+b*c+c*a = 0

=> (a*b+b*c+c*a)/a*b*c = 0 ( cùng chia 2 vế cho a*b*c)

=> (a*b/a*b*c)+(b*c/a*b*c)+(c*a/a*b*c) = 0

=>1/c+1/a+1/b = 0

=>1/a³ +1/b³ +1/c³ =3*1/a*1/b*1/c = 3/a*b*c

đoạn cuối giải j k hỉu tí nào

z hả? tại mình ko bik cách viết phân số nên bn thg cảm. 

Từ a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc = 0

<=> (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b) - 3abc = 0

<=> (a + b + c)(a² + 2ab + b² - ac - bc + c²) - 3ab(a + b + c) = 0

<=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(loại\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> a = b = c

=> tam giác đó là tam giác đều

b) Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

CM đúng (tự cm tđ)

Ta có: \(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)(vì x + y + z = 1)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a, b, c > 0

Ta có : a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

<=> ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - ac - bc ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

Dễ thấy không thể xảy ra trường hợp a + b + c = 0 vì a, b, c > 0 

Xét TH còn lại ta có :

a² + b² + c² - ab - ac - bc = 0

<=> 2(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 2.0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ac + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)

=> Tam giác đó là tam giác đều ( đpcm )

b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)( do GT x + y + z = 1 )

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/3