Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:

$(a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc$

$\Rightarrow abc\leq \frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$. Do đó:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc$

$\geq (ab+bc+ac)(a+b+c)-\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\leq \frac{9}{8}(*)$

Mà cũng theo BĐT Cô-si:

$1=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3$

$\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{9}{8}.\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{9}{8}.\frac{2}{3}=\frac{3}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Có ai giúp tôi với😭😭😭😭😭

a:các tia gốc a là :ba ac

các tia gốc b là:ba,bc

các tia trùng nhau:ac và ab,ca và cb

Bài 1:

Vì AD là p/g góc A nên \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=30^0\)

Mà \(\widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{D_1}=180^0\Rightarrow\widehat{D_1}=180^0-30^0-40^0=110^0\)

Mà AE//BC nên \(\widehat{EAD}=\widehat{D_1}=110^0\left(so.le.trong\right)\)

Vì DE//AC nên \(\widehat{A_2}=\widehat{D_2}=30^0\left(so.le.trong\right);\widehat{D_3}=\widehat{C}=40^0\left(đồng.vị\right)\)

Vì AE//BC nên \(\widehat{D_3}=\widehat{E}=40^0\)

Vậy các góc tg ADE là \(\widehat{A}=110^0;\widehat{D}=30^0;\widehat{E}=40^0\)

Bài 2:

a, Xét tg ABH và tg DBH có 

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAH}=\widehat{BDH}=90^0\\\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\left(BH.là.p/g\right)\\BH.chung\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta ABH=\Delta BDH\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow HA=HD\)

b, Xét tg AHE và tg DHC có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHE}=\widehat{DHC}\left(đối.đỉnh\right)\\\widehat{HAE}=\widehat{HDC}=90^0\\HA=HD\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\Delta AHE=\Delta DHC\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow CD=AE\)

Mà \(AB=BD\left(\Delta ABH=\Delta DBH\right)\)

\(\Rightarrow AB+AE=BD+CD\\ \Rightarrow BE=BC\)

Vì \(AD=AB\) nên tg ABD cân tại B

Do đó \(\widehat{BAD}=\dfrac{180^0-\widehat{ABC}}{2}\left(1\right)\)

Vì \(BE=BC\) nên tg BEC cân tại B

Do đó \(\widehat{BEC}=\dfrac{180^0-\widehat{ABC}}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BEC}\) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AD//EC

(2x−5)(3x+4)

Gọi quãng đg 3 xe chạy lần lượt là a,b,c (km)(a,b,c>0)

Vì vận tốc tỉ lệ với 3;4;5 nên quãng đường tỉ lệ với 5;4;3 \(a:b:c=5:4:3\Rightarrow\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}\) và \(a-c=20\left(km\right)\)

Áp dụng t/c dtsbn:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a-c}{5-3}=\dfrac{20}{2}=10\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=50\\b=40\\c=30\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

15:

b: Gọi I(a;b)

Theo đề, ta có: d(I;d)=d(I;d')=căn 5

=>3a-b+3=căn 5*căn 10=5*căn 2 và a-3b+9=5căn 2

=>|3a-b+3|=|a-3b+9|

=>2a+2b=6 và 2a-4b=12

=>a=1 và b=2

=>I(1;2)

Phương trình (C) là:

(x-1)^2+(y-2)^2=5

c: (C): x^2+y^2+4x-y+4=0

=>(x+2)^2+(y-1/2)^2=1/4

=>I(-2;1/2);R=1/2

=>I'(2;1/2)

Phương trình (C') là:
(x-2)^2+(y-1/2)^2=1/4

\(x^2+4x+y^2-2xy+x^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2=0\)

vì \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(x+2\right)^2\ge0\)nên

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x-y=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}\Rightarrow}x=y=-2}\)

xem trên mạng nhé