Phần a)

Sử dụng bổ đề \(x^{mn}-1\vdots x^m-1\) với mọi \(m,n \in\mathbb{N}\)

Chứng minh bổ đề:

Thật vậy, theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(x^{mn}-1=(x^m)^n-1^n=(x^m-1)[(x^m)^{n-1}+(x^m)^{n-2}+...+x^m+1]\vdots x^m-1\)

Bổ đề đc chứng minh.

-----------------------------------

Ta có:

\(x^{400}+x^{200}+1=x^{396}.x^4+x^{198}.x^2+1\)

\(=x^4(x^{396}-1)+x^2(x^{198}-1)+(x^4+x^2+1)\)

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán kết hợp với \(x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)\vdots x^4+x^2+1\) ta suy ra:

\(x^{396}-1=x^{6.66}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)

\(x^{198}-1=x^{6.33}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)

\(x^4+x^2+1\vdots x^4+x^2+1\) (hiển nhiên)

Do đó: \(x^{400}+x^{200}+1\vdots x^4+x^2+1\)

(đpcm)

Phần b)

\(F(x)=x^{1970}+x^{1930}+x^{1890}=x^{1890}(x^{80}+x^{40}+1)\)

Thấy rằng:

\(x^{80}+x^{40}+1=(x^{40}+1)^2-x^{40}=(x^{40}+1)^2-(x^{20})^2\)

\(=(x^{40}+1-x^{20})(x^{40}+1+x^{20})\)

Mà: \(x^{40}+1+x^{20}=(x^{20}+1)^2-x^{20}=(x^{20}+1)^2-(x^{10})^2\)

\(=(x^{20}+1-x^{10})(x^{20}+1+x^{10})\vdots x^{20}+x^{10}+1\)

Do đó:

\(x^{80}+x^{40}+1\vdots x^{20}+x^{10}+1\)

 có x^200+x^100+1=x^100*(x^2+1)+1 
x^4+x^2+1=x^2*(x^2+1)+1 
mà x^100chia hết cho x^2 
x^2+1chia hết cho x^2+1 
1 chia hết cho1 
suy ra x^100*(x^2+1)+1chia hết cho x^2*(x^2+1)+1 hay x^200+x^100+1 chia hết cho x^4+x^2+1

Bài 1:

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.\)

Thực hiện phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta được

\(x^4-9x^3+21x^2+x+a=\left(x^2-x-2\right)\left(x^2-8x+15\right)+a+30\)

Do đó dư của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) là \(a+30\).

a) Với \(a=-100\) dư của phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) là \(-100+30=-70\).

b) Để \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(g\left(x\right)\) thì \(a+30=0\Leftrightarrow a=-30\).