Gọi k = \(\frac{a-1}{2}=\frac{b+3}{4}=\frac{c-5}{6}\)

=> \(\begin{cases}a=2k+1\\b=4k-3\\c=6k+5\end{cases}\)

=> 5c - 4b - 3a = 30k + 25 - 16k + 12 - 6k - 3 = 8k + 34

=> 8k + 34 = 50

=> k = 2

=> \(\begin{cases}a=5\\b=5\\c=17\end{cases}\)

Ta có: BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)( CM bằng BĐT Shwars nha).Áp dụng ta có:

\(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{3a+2b+4c}\ge\frac{9}{9a+6b+12c}=\frac{3}{3a+2b+4c}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{3b+2c+4a}\ge\frac{9}{9b+6c+12a}=\frac{3}{3b+2c+4a}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{3c+2a+4b}\ge\frac{9}{9c+6a+12b}=\frac{3}{3c+2a+4b}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2) và (3) có:

\(2\left(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5c}+\frac{1}{c+3a+5b}\right)+\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\ge3\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\)

\(\Rightarrow2VP\ge2VT\)

\(\RightarrowĐPCM\)

a) Ta có: \(3a=2b\Leftrightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\Leftrightarrow\frac{a}{10}=\frac{b}{15}\) (1)

Và \(4b=5c\Leftrightarrow\frac{b}{5}=\frac{c}{4}\Leftrightarrow\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}=\frac{-a-b+c}{-10-15+12}=\frac{-52}{-13}=4\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=40\\b=60\\c=48\end{cases}}\)

a) \(\hept{\begin{cases}3a=2b\\4b=5c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\\\frac{b}{5}=\frac{c}{4}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{a}{10}=\frac{b}{15}\\\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}\)

-a - b + c = -52 => -( a + b - c ) = -52

                         => a + b - c = 52

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{10}=\frac{b}{15}=\frac{c}{12}=\frac{a+b-c}{10+15-12}=\frac{52}{13}=4\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=40\\b=60\\c=48\end{cases}}\)

b) \(C=\frac{2x^2-5x+3}{2x-1}\)( ĐKXĐ : \(x\ne\frac{1}{2}\))

\(\left|x\right|=\frac{3}{2}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\x=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Với x = 3/2 ( tmđk )

=> C = \(\frac{2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2-5\cdot\frac{3}{2}+3}{2\cdot\frac{3}{2}-1}=\frac{0}{2}=0\)

Với x = -3/2 ( tmđk )

=> C = \(\frac{2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2-5\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+3}{2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)-1}=\frac{15}{-4}=-\frac{15}{4}\)

b) Ta có: \(\left|x\right|=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\x=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

+ Nếu: \(x=\frac{3}{2}\Rightarrow C=0\)

+ Nếu: \(x=-\frac{3}{2}\Rightarrow C=-\frac{15}{4}\)

Ta có:

sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)

Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)

có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)

Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)) \(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)

MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)

Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3

  Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k\)

=>a=bk;b=ck;c=dk

Ta có: \(\frac{3a^3-4b^3+5c^3}{3b^3-4c^3+5d^3}=\frac{3\left(bk\right)^3-4\left(ck\right)^3+5\left(dk\right)^3}{3b^3-4c^3+5d^3}\)

                                                  =\(\frac{3b^3.k^3-4c^3.k^3+5d^3.k^3}{3b^3-4c^3+5d^3}=\frac{k^3.\left(3b^3-4c^3+5d^3\right)}{3b^3-4c^3+5d^3}=k^3\)(1)

Ta có: \(\frac{a}{d}=\frac{b.k}{d}=\frac{c.k^2}{d}=\frac{d.k^3}{d}=k^3\)(2)

Từ (1) và (2)=> \(\frac{a}{d}=\frac{3a^3-4b^3+5c^3}{3b^3-4c^3+5d^3}\)

Gọi \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=x\Rightarrow a=bx;c=dx\)

Thay vào vế trái ta được 

\(\frac{3a-5c}{4a+7c}=\frac{3.bx-5.dx}{4.bx+7.dx}=\frac{x\left(3b-5d\right)}{x\left(4b+7d\right)}=\frac{3b-5d}{4b+7d}\)

Vậy vế trái bằng vế phải

Ta có:\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{3a-5c}{3b-5d}\left(1\right)\)

Ta lại có:\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{4a+7c}{4b+7d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2),suy ra : \(\frac{3a-5c}{4a+7c}=\frac{3b-5d}{4b+7d}\)

Cách của mình cũng đúng nhưng khác cách làm của thang Tam thôi