Gọi O là giao điểm của AC và BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDQO vuông tại Q và ΔBPO vuông tại P có 

OD=OB

\(\widehat{DOQ}=\widehat{BOP}\)

Do đó: ΔDQO=ΔBPO

Suy ra: DQ=BP

Xét ΔAOM vuông tại M và ΔCON vuông tại N có

OA=OC

\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)

Do đó: ΔAOM=ΔCON

Suy ra: AM=CN

Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay O là trung điểm của MN

Xét tứ giác BPDQ có

BP//DQ

BP=DQ

Do đó: BPDQ là hình bình hành

hay O là trung điểm của PQ

Xét tứ giác MPNQ có 

O là trung điểm của MN

O là trung điểm của PQ

Do đó: MPNQ là hình bình hành

Câu 3: 

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA

N la trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của DC

Do đó: QP là đường trug bình

=>QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

b: Xét tứ giác MDPB có

MB//DP

MB=DP

Do đó: MDPB là hình bình hành

c: Xét ΔCDK có

P là trung điểm của CD

PL//DK

DO đó:L là trung điểm của CK

=>CL=LK(1)

Xét ΔALB có

Mlà trung điểm của AB

MK//LB

Do đó:K là trung điểm của AL

=>AK=KL(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=KL=LC

a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có 

AD=BC

\(\widehat{HDA}=\widehat{KBC}\)

Do đó: ΔAHD=ΔCKB

Suy ra: AH=CK

Xét tứ giác AHCK có 

AH//CK

AH=CK

Do đó: AHCK là hình bình hành

a) \(\widehat{FAD}=\widehat{BEC}=90^0;\widehat{DAF}=\widehat{ECB};AD=BC\)

\(\Rightarrow\)△ADF=△CBE (g-c-g) \(\Rightarrow DF=BE\)

DF//BE (cùng vuông góc với AC) \(\Rightarrow\)BEDF là hình bình hành.

b) \(CH.CD=CH.AB=S_{ABCD}=CK.CD=CK.BC\)

c) △ABE∼△ACH (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{CH}\Rightarrow AB.CH=AC.BE\)

△BEC∼△CKA \(\Rightarrow\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{EC}{AK}\Rightarrow BC.AK=AC.EC\)

\(AB.CH+BC.AK=AB.CH+AD.AK=AC.BE+AC.EC=AC.\left(BE+EC\right)=AC.AC=AC^2\)