\(Q=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)

\(Q=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(Q=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}9\left(n^2+1\right)⋮9\\3n⋮3\\n^2+5⋮3\end{matrix}\right.\left(\forall n\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Đặt \(n=4k+1\) thì \(P=\dfrac{\left(4k+1\right)\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)\left(4k+6\right)}{2}=8\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Dẫn đến \(Q=\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Lại có \(\left(2k+1,4k+1\right)=1;\left(2k+1,k+1\right)=1;\left(2k+1,2k+3\right)=1\) nên \(\left(2k+1,\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\right)=1\).

Do đó để Q là số lập phương thì \(2k+1\) và \(R=\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Mặt khác, ta có \(R=8k^3+22k^2+17k+3\) 

\(\Rightarrow8k^3+12k^2+6k+1=\left(2k+1\right)^3< R< 8k^3+24k^2+24k+8=\left(2k+2\right)^3\) nên \(R\) không thể là số lập phương.

Vậy...

lập phương hay chính phương thế bạn???

nếu là chính phương thì ntn nha 

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

đặt \(t=n^2+3n\left(t\in Z^+\right)\)

phương trình thành:
\(t\left(t+2\right)=t^2+2t\)

vì \(t^2< t^2+2t< t^2+2t+1\)

hay \(t^2< t^2+2t< \left(t+1\right)^2\)

=> \(t^2+2t\) không thể là số chính phương

=>\(n\left(n+2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) luôn luôn không thể là số chính phương

cô ơi, cô là người hay cô là chó vậy ạ ?, bài tập thầy con soạn bao nhiêu công sức cô ăn cắp như con chó không thèm ghi nguồn rồi đăng lên đây, thầy con đã nói rồi mà cô vẫn cố tình nhai đi nhai lại mấy tháng nay, bẩn không bằng con chó cô ạ, cô làm như vậy là báo hại đến học sinh bọn con thôi ạ, cô làm ơn bỏ cái trò đó đi ạ

1: \(\Leftrightarrow a^5-a^4b+b^5-ab^4>=0\)

\(\Leftrightarrow a^4\left(a-b\right)-b^4\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)>=0\)(luôn đúng khi a,b dương)

Đặt 

\(A_k=1+2+3+....+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

\(A_{k-1}=1+2+3+....+\left(k-1\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}\)

Ta có:

\(A_k^2-A_{k-1}^2=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{2}-\frac{\left(k-1\right)^2k^2}{2}=\frac{k^2}{2}\left(k^2+2k+1-k^2+2k-1\right)=k^3\)

Khi đó:

\(1^3=A_1^2\)

\(2^3=A_2^2-A_1^2\)

\(...........\)

\(n^3=A_n^2-A_{n-1}^2\)

Khi đó:

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=A_n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1^3+2^3+......+n^3}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=> ĐPCM

Cách khác:

Ta sẽ đi chứng minh \(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Với n=1 thì mệnh đề trên đúng

Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Ta có:

\(A_k=1^3+2^3+3^3+.....+k^3=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta cần chứng minh:

\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Thật vậy !

\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)

\(=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)\)

\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.

thanks

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\\ \)

Nếu n chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5Nếu n chia 5 dư 1 thì (n-1) chia hết cho 5 => A chia hết cho 5Nếu n chia 5 dư 2 thì n = 5k +2 => n² + 1 = 25k² + 20k + 4 + 1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5Nếu n chia 5 dư 3 thì n = 5k +3 => n² + 1 = 25k² + 30k + 9 + 1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5Nếu n chia 5 dư 4 thì (n+1) chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

n thuộc N lớn hơn hoặc bằng 2 chỉ có 5 trường hợp có số dư như trên khi chia cho 5. Nên A chia hết cho 5 với mọi n thuộc N lớn hơn hoặc bằng 2.