DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.
                           

a) Vì \widehat{AEM}=\widehat{AFM}={90}^\circAEM=AFM=90∘ nên A, E, M, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AM \Rightarrow\ \widehat{EIF}=2\widehat{EAF}={120}^\circ⇒ EIF=2EAF=120∘ (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp chắn cung \stackrel\frown{EF}EF⌢).

b) Hạ $IH\perp EF$, ta có IE=IF=\frac{1}{2}AMIE=IF=21​AM nên $\Delta IEF$ cân $\Rightarrow HE=HF$.

Ta lại có: EH=EI.\sin{\widehat{EIH}}=\frac{1}{2}AM.\sin{{60}^\circ}EH=EI.sinEIH=21​AM.sin60∘ (vì \widehat{EIH}=\widehat{FIH}=\frac{1}{2}\widehat{EIF}={60}^\circEIH=FIH=21​EIF=60∘).

Suy ra EH=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4}\Rightarrow EF=2EH=\frac{a\sqrt3}{2}EH=2a​.23​​=4a3​​⇒EF=2EH=2a3​​.

c) EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất $\iff$ AM $\perp$ BC.

a) Vì \widehat{AEM}=\widehat{AFM}={90}^\circAEM=AFM=90∘ nên A, E, M, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AM \Rightarrow\ \widehat{EIF}=2\widehat{EAF}={120}^\circ⇒ EIF=2EAF=120∘ (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp chắn cung \stackrel\frown{EF}EF⌢).

b) Hạ $IH\perp EF$, ta có IE=IF=\frac{1}{2}AMIE=IF=21​AM nên $\Delta IEF$ cân $\Rightarrow HE=HF$.

Ta lại có: EH=EI.\sin{\widehat{EIH}}=\frac{1}{2}AM.\sin{{60}^\circ}EH=EI.sinEIH=21​AM.sin60∘ (vì \widehat{EIH}=\widehat{FIH}=\frac{1}{2}\widehat{EIF}={60}^\circEIH=FIH=21​EIF=60∘).

Suy ra EH=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4}\Rightarrow EF=2EH=\frac{a\sqrt3}{2}EH=2a​.23​​=4a3​​⇒EF=2EH=2a3​​.

c) EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất $\iff$ AM $\perp$ BC.

Bài làm:

Ta có: Vì ΔABC đều => \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)

Xét Δ vuông MBE có BE = 1/2 BM 

=> \(EM^2=BM^2-BE^2=BM^2-\frac{1}{4}BM^2=\frac{3}{4}BM^2\)

=> \(EM=\frac{BM\sqrt{3}}{2}\)

Tương tự CM được:  \(FM=\frac{MC\sqrt{3}}{2}\)

=> \(ME+MF=\frac{\left(BM+MC\right)\sqrt{3}}{2}=\frac{BC.\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b) Ta có: Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> \(IE=FI=\frac{AM}{2}=AI\)

Vì IE = AI => Δ AIE cân tại I => \(\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\)

=> \(\widehat{EIM}=\widehat{IAE}+\widehat{IEA}=2\widehat{IAE}\)

Tương tự CM được: \(\widehat{FIM}=2\widehat{FAI}\)

=> \(\widehat{EIM}+\widehat{FIM}=2\left(\widehat{IAE}+\widehat{FAI}\right)=2.60^0=120^0\)

=>\(\widehat{EIF}=120^0\)

c) Khi AM = 20cm => \(EI=FI=10cm\)

=> Δ EIF cân tại I => \(\widehat{FEI}=\widehat{IFE}=30^0\)

Xong từ I kẻ đường cao xuống EF làm 1 vài động tác CM ra được: \(EF=10\sqrt{3}cm\)

(ko hiểu thì ib)

d) Áp dụng t/c đường xiên hình chiếu => Min AM = AH khi M trùng H

a: góc AEM=góc AFM=90 độ

=>AEMF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

=>AEMF nội tiếp (I)

Xét (I) có

góc EIF là góc ở tâm chắn cung EF

góc EAF là góc nội tiếp chắn cung EF

Do đó: góc EIF=2*góc EAF=120 độ không đổi

b: Xét ΔEIF có IE=IF 

nên ΔIEF cân tại I

=>góc IEF=(180-120)/2=30 độ

Xét ΔIEF có \(\dfrac{IF}{sinIEF}=\dfrac{EF}{sinEIF}\)

=>\(\dfrac{IF}{sin30}=\dfrac{EF}{sin120}\)

=>\(EF=\dfrac{IF}{sin30}\cdot sin120=\dfrac{AM}{2}\cdot\sqrt{3}=AM\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

b: ADME là hình chữ nhật

=>AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của AM

Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB,AC

Xét ΔABC có

H,K lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>HK là đường trung bình

=>HK//BC và HK=BC/2

Xét ΔAMB có

I,H lần lượt là trung điểm của AM,AB

=>IH là đường trung bình

=>IH//MB và IH=MB/2

=>IH//BC

mà KH//BC

nên I,K,H thẳng hàng

=>I di chuyển trên đoạn KH là đường trung bình của ΔABC