Chứng minh đẳng thức \(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{1+\sqrt{3}}}{2}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1..\)
Mọi người giúp em với ạ! Em cảm ơn
mọi người giúp em với ạ em cảm ơn\(\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}+4}{5-2\sqrt{3}}}\)
Tính giá trị của biểu thức:
a.
\(S=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{1\cdot7}+...+\frac{1}{2015\cdot2017}\)
b.\(S=\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2013\sqrt{2012}+2012\sqrt{2013}}\)
Mọi người giúp em với ạ! Em cảm ơn! Sẵn cho em hỏi là 2 câu này có được tính theo công thức gì không ạ? Vì em chưa học nên chưa biết!
a, \(S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{2015.2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2015.2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=1-\frac{1}{2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=\frac{2016}{2017}\)
\(\Rightarrow\) \(S=\frac{1008}{2017}\)
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC SAU :\(\frac{3}{\sqrt{7}-1}+\frac{3}{\sqrt{7}+1}\)
RÚT GỌN BIỂU THỨC SAU :\(\frac{3}{\sqrt{X}-1}-\frac{2}{\sqrt{X}+1}+\frac{X-7}{X-1}\)
MỌI NG GIÚP EM VS Ạ EM CẢM ƠN Ạ
\(\frac{3}{\sqrt{7}-1}+\frac{3}{\sqrt{7}+1}=\frac{3\left[\sqrt{7}+1+\sqrt{7}-1\right]}{\left(\sqrt{7}+1\right)\left(\sqrt{7}-1\right)}=\frac{6\sqrt{7}}{6}=\sqrt{7}\)
\(\frac{3}{\sqrt{X}-1}-\frac{2}{\sqrt{X}+1}+\frac{X-7}{X-1}=\frac{3\left(\sqrt{X}+1\right)-2\left(\sqrt{X}-1\right)+X-7}{\left(\sqrt{X}+1\right)\left(\sqrt{X}-1\right)}=\frac{X+\sqrt{X}-2}{\left(\sqrt{X}+1\right)\left(\sqrt{X}-1\right)}=\frac{\sqrt{X}+2}{\sqrt{X}+1}\)
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
\(\frac{3}{\sqrt{7}-1}\) + \(\frac{3}{\sqrt{7}+1}\)= \(\frac{3\left(\sqrt{7}+1\right)+3\left(\sqrt{7}-1\right)}{\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7}+1\right)}\)= \(\frac{3\sqrt{7}+3+3\sqrt{7}-3}{6}\)=\(\frac{6\sqrt{7}}{6}\)=\(\sqrt{7}\)
RÚT GỌN BIỂU THỨC:
\(\frac{3}{\sqrt{X}-1}\)-\(\frac{2}{\sqrt{X}+1}\)+\(\frac{X-7}{X-1}\)
= \(\frac{3\left(\sqrt{X}+1\right)}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)-\(\frac{2\left(\sqrt{X}-1\right)}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)+\(\frac{X-7}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{3\sqrt{X}+3-2\sqrt{X}+2+X-7}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{X+\sqrt{X}-2}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{\left(\sqrt{X}+1\right)\left(\sqrt{X}-2\right)}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{\sqrt{X}-2}{\sqrt{X}-1}\)
CHÚC EM HỌC TỐT!
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:\(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh:\(\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\)lớn hơn hoặc bằng 1,
mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn nhiều, em đang cần gấp. trả lời đi rồi em vào wall like cho hết ạ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ap dung bdt am gm
\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)
tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)
\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)
tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU
a)\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{1}}\)
b)\(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
c)\(\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{7}}\)
mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn <3
chứng minh đẳng thức :
\(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1\)
Đặt \(x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2\) , \(y=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2\) \(\Rightarrow\begin{cases}x+y=2\\xy=\frac{1}{4}\end{cases}\)
Ta có vế trái : \(\frac{x}{1+\sqrt{x}}+\frac{y}{1-\sqrt{y}}=\frac{x-x\sqrt{y}+y+y\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}=\frac{\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)}\)
Xét tử số : \(\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=2-\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Xét mẫu số : \(\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{2}\)
Vậy : \(\frac{x}{1+\sqrt{x}}+\frac{y}{1-\sqrt{y}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1\) hay \(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1\) (đpcm)
Tính các tổng
a. \(A=\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+....+\frac{1}{\sqrt{2007}-\sqrt{2008}}\)
b. \(B=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
Mọi người giúp tớ với nhé!! Cảm ơn trước nha!!
a) Trục căn thức ở mỗi số hạng của biểu thức A,ta có:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-...+\frac{1}{\sqrt{2007}-\sqrt{2008}}\)=\(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1}}{1-2}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{3-4}-...+\frac{\sqrt{2007}+\sqrt{2008}}{2007-2008}\)
= \(-\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+...-\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2008}\right)\)
=\(-1-\sqrt{2008}\)
b)Ta xét số hạng tổng quát: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)=\(\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)=\(\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}\)=\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào biểu thức B ta được:
B= \(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-...+\frac{1}{\sqrt{120}}-\frac{1}{\sqrt{121}}=1-\frac{1}{11}\)= \(\frac{10}{11}\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}-\sqrt{2008}}\)
\(=\frac{-1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}-....+\frac{1}{\sqrt{2007}-\sqrt{2006}}-\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}\)
\(=\frac{-1\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{2-1}+\frac{1\cdot\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}-\frac{1\cdot\left(\sqrt{4}+\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{1\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{4}\right)}{5-4}-...+\frac{1\cdot\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2006}\right)}{2007-2006}-\frac{1 \left(\sqrt{2008}+\sqrt{2007}\right)}{2008-2007}\)
\(=-1-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{5}-...+\sqrt{2006}+\sqrt{2007}-\sqrt{2007}-\sqrt{2008}\)
\(=-1-\sqrt{2008}\)
Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{n}\)
Giúp em với các anh chị ơi :(( Em cần khá gấp ạ :( Và anh chị có thể ghi chi tiết giúp em được không ? Em cảm ơn mọi người nhiều lắm !!
1) Cho Biểu Thức: P = \(\frac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a+3}}-\frac{5}{a+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{a}}\)
a) Rút gọn P
2) Cho Biểu Thức: P = \((1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}):(\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x+2}}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x+2}}{x-5\sqrt{x}+6}\))
a) Rút gọn P
3) Cho Biểu Thức: P = (\(\frac{\sqrt{x-1}}{3\sqrt{x}-1}-\frac{1}{3\sqrt{x}+1}+\frac{8\sqrt{x}}{9x-1}):\left(1-\frac{3\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x+1}}\right)\)
a) Rút gọn P
b) Tìm các gt của x để P=\(\frac{6}{5}\)