Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), đường kính AD, H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC
a, CMR AB vuông góc với BD, tứ giác BHCD là hình bình hành
b, CNR H,G,O thẳng hàng
c, TÌm GTLN của AH+BC theo R
a: Xét tứ giác BHCD có
M là trung điểm của BC
M là trung điểm của HD
Do đó: BHCD là hình bình hành
\(b,\) Kẻ \(OM\perp BC;ON\perp AC\)
\(\Rightarrow BM=MC;AN=NC\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow MN\text{//}AB\Rightarrow\widehat{NMC}=\widehat{ABC};\widehat{MNC}=\widehat{ACB}\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OMN}+\widehat{NMC}=90^0;\widehat{HAB}+\widehat{ABC}=90^0\\\widehat{ONM}+\widehat{MNC}=90^0;\widehat{ABH}+\widehat{ACB}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OMN}=\widehat{HAB}\\\widehat{ONM}=\widehat{ABH}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta OMN\sim\Delta HAB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{OM}{AH}=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{2}\)
Gọi \(AM\cap OH=\left\{G'\right\}\)
\(OM\text{//}AH\Rightarrow\dfrac{G'M}{G'A}=\dfrac{OM}{AH}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow G'\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Do đó \(G'\equiv G\) hay \(H,G,O\) thẳng hàng
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh:
a) Tứ giác ABH'C là tứ giác nội tiếp
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) OA \(\perp\) B'C'
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn(O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.
a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn(O)
b) Tính góc ∠ACD
c) Cho BC = 24cm; AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn(O)
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi M là trung điểm BC. Giả sử O nằm trong tam giác AMC hoặc O nằm giữa A và M. Gọi I là trung điểm AC. CMR:
a) Chu vi tam giác IMC lớn hơn 2R
b) Chu vi tam giác ABC lớn hơn 4R
Bài 3: Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB. G, H, I theo thứ tự là chân đường cao từ đỉnh A, B, C. Trực tâm tam giác ABC là S. J, K, L theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng minh rằng: 9 điểm D, E, F, G, H, I, J, K, L cùng thuộc đường tròn. ( Gợi ý: đường tròn đường kính JD)
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp(O), H là trực tâm tam giác ABC. Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn tâm D bán kính DH cắt BC tại A1, A2, đường tròn tâm E bán kính EH cắt CA tại B1, B2, đường tròn tâm F bán kính FH cắt AB tại C1, C2.
a) : Chứng minh 3 đường thẳng DD' , EE' , FF' đồng quy ( DD' song song với OA, EE' song songvới OB, FF' song song với OC ).
b) Chứng minh 6 điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 nằm trên một đường tròn.
Bài 1 : Bài giải
Hình tự vẽ //
a) Ta có DOC = cung DC
Vì DOC là góc ở tâm và DAC là góc chắn cung DC
=>DOC = 2 . AOC (1)
mà tam giác AOC cân =>AOC=180-2/AOC (2)
Từ (1) ; (2) ta được DOC + AOC = 180
b) Góc ACD là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn
=>ACD=90 độ
c) c) HC=1/2*BC=12
=>AH=căn(20^2-12^2)=16
Ta có Sin(BAO)=12/20=>BAO=36.86989765
=>AOB=180-36.86989765*2=106.2602047
Ta có AB^2=AO^2+OB^2-2*OB*OA*cos(106.2602047)
<=>AO^2+OA^2-2OA^2*cos(106.2602047)=20^2
=>OA=12.5
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O).H là trực tâm của tam giác ABC,AD là đường kính của (O).,E thuộc AC sao cho HE song song với BC.
a,CMR các đường thẳng BH,DE cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường tròn (O).
b,Gọi F là giao điểm của EH và AB.CMR A thuộc đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF.
c,Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.CMR các đường thẳng BE,CF,IH đồng quy
Giúp mình câu c với
a) Gọi BH cắt (O) tại S khác B. Qua tính chất quen thuộc của trực tâm ta thấy H,S đối xứng nhau qua AC.
Do đó ^ASE = ^AHE = 900 (Vì HE // BC, AH vuông góc BC) hay SE vuông góc với AS (1)
Ta có AD là đường kính của (O) => ^ASD chắn nửa (O) => SD vuông góc với AS (2)
Từ (1) và (2) suy ra SE trùng SD hay DE cắt (O) tại S. Như vậy BH,DE cắt nhau trên (O) (đpcm).
b) Tương tự câu a, CH,DF cũng cắt nhau tại 1 điểm trên (O), gọi nó là T
Dễ thấy AH = AS = AT (Tính chất đối xứng). Mà AH,AS,AT lần lượt là khoảng cách từ A đến EF,DE,DF
Nên A chính là tâm bàng tiếp góc D của \(\Delta\)DEF (A nằm ngoài \(\Delta\)DEF) (đpcm).
c) Gọi IH cắt CF tại G. Ta sẽ chỉ ra rằng B,G,E thẳng hàng. Thật vậy:
Ta có FA,FI là phân giác trong và ngoài của ^DFE => FI vuông góc AB => FI // CH
Từ đó \(\Delta\)IGF ~ \(\Delta\)HGC (g.g) => \(\frac{GI}{GH}=\frac{IF}{HC}\)(3)
Mặt khác ^IFE = ^FAH (Cùng phụ ^AFH) = ^HCB. Tương tự ^IEF = ^HBC
Suy ra \(\Delta\)EIF ~ \(\Delta\)BHC (g.g) => \(\frac{IF}{HC}=\frac{IE}{HB}\)(4)
Từ (3) và (4), kết hợp với ^GIE = ^GHB suy ra \(\Delta\)GEI ~ \(\Delta\)GBH (c.g.c)
=> ^IGE = ^HGB. Vì I,G,H thẳng hàng nên kéo theo B,G,E thẳng hàng
Vậy thì BE,CF,IH cắt nhau tại G (đpcm).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn O bán kính R.Vẽ hai đường kính AD và BE cả đường tròn , gọi h là trực tâm của tam giác ABC, . Tính diệntích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R
giúp tớ với
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC và AD là đường kính, CH cắt AD tại E
a) Chứng minh AB.AE = AH.AC
b) AI cắt OH ở G. chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O và trực tâm H. Kẻ đường kính AD.
a/ Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
B/ Gọi I lầ trung điểm BC. Chứng minh: AH = 2OI
C/ Chứng minh: O,B là trọng tâm G của tam giác ABC là ba điểm thẳng hàng.
a: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>BD vuông góc AB
=>BD//CH
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>AC vuông góc CD
=>CD//BH
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
b: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của HD
Xét ΔHDA có
I,O lần lượt là trung điểm của DH,DA
=>IO là đường trung bình
=>IO//AH và IO=AH/2
=>AH=2IO
Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R gọi H là giao của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC .Gọi S la diện tích tam giác ABC
