Question

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H' là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh:

a) Tứ giác ABH'C là tứ giác nội tiếp

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) OA \(\perp\) B'C' 

Answer 1

a: H' đối xứng H qua BC

=>BC là đường trung trực của H'H

=>BH=BH', CH=CH'

Xét ΔBHC và ΔBH'C có

BH=BH'

CH=CH'

BC chung

Do đó: ΔBHC=ΔBH'C

=>\(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)

Gọi D là giao điểm của BH và CA, E là giao điểm của CH và AB

H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥CA tại D, CH⊥AB tại E

Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}+\hat{ADH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EHD}+\hat{EAD}=180^0\)

mà \(\hat{EHD}=\hat{BHC}\) (hai góc đối đỉnh)

và \(\hat{BHC}=\hat{BH^{\prime}C}\)

nên \(\hat{BAC}+\hat{BH^{\prime}C}=180^0\)

=>ABH'C là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔHBC có \(\frac{BC}{\sin BHC}=2R_1\)

=>\(\frac{BC}{sin\left(180^0-BAC\right)}=2R_1\)

=>\(2R_1=\frac{BC}{\sin BAC}\) (1)

Xét ΔABC có \(\frac{BC}{\sin BAC}=2R_2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(R_1=R_2\)

=>Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔBHC bằng với bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC