a: ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên MA*MB=HM^2

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên NA*NC=HN^2

Xét tứ giác AMHN có

góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

=>AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

=>MN^2=AH^2=HB*HC

=>HB*HC=MA*MB+NA*NC

Lời giải:
Áp dụng HTL trong tam giác vuông với tam giác $AHB, AHC$:

$AM.AB=AH^2$

$AN.AC=AH^2$

Do đó nếu muốn cm $AM.AB=AB^2-AN.AC$ thì:

$AH^2=AB^2-AH^2$

$\Leftrightarrow 2AH^2=AB^2$ 

Cái này thì không có cơ sở để cm. Bạn coi lại đề.

Bài 2: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB,ta được:

\(AM\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AN\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b) Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=90^0\)

\(\widehat{ANH}=90^0\)

\(\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: AH=MN

Ta có: \(AM\cdot AB+AN\cdot AC\)

\(=AH^2+AH^2\)

\(=2AH^2=2\cdot MN^2\)

câu c,d bài 2

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\\AM\cdot MB=MH^2\end{matrix}\right.\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\\NA\cdot NC=NH^2\end{matrix}\right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

Xét ΔHNM vuông tại H có 

\(NM^2=HN^2+HM^2\)

hay \(HB\cdot HC=AM\cdot MB+AN\cdot NC\)

a) AM.AB = AN.AC
△AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
⇒AM.AB = AN.AC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
b) HB.HC = MA.MB + NA.NC
- Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
suy ra HB.HC = AH^2 (hệ thức về cạnh và đường cao...)
mà tứ giác AMHN là hcn, suy ra AH(^2) = MN(^2)
- △AHB vuông tại H, đường cao HM, △AHC vuông tại H, đường cao HN
suy ra MA.MB + NA.NC = HM(^2) + (HN^2)= (MN^2)
từ đó suy ra điều phải c/m
c) (HB/HC)=((AB/AC))(^2)
((AB/AC))(^2)=((AB^2)/AC(^2)) = (BH.BC/CH.BC)=(HB/HC)

a: Xét ΔABC vuông tai A và ΔHBA vuông tại H co

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

b: \(BC=\sqrt{8^2+15^2}=17\left(cm\right)\)

AH=8*15/17=120/17(cm)

c: AM*AB=AH^2

AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

a: BC=BH+CH

=4+9=13

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=4\cdot9=36\)

=>AH=6

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

a) Tam giác AKB vuông tại K có đường cao KM nên \(AK^2=AM.AB\)

Chứng minh tương tự, ta có \(AK^2=AN.AC\)

Từ đó suy ra \(AM.AB=AN.AC\) (đpcm)

b) Tam giác KMN vuông tại K nên \(KM^2+KN^2=MN^2\)

Dễ thấy tứ giác AMKN là hình chữ nhật, suy ra \(AK=MN\). Từ đó \(KM^2+KN^2=AK^2\).

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK nên \(AK^2=KB.KC\)

Thế thì \(KM^2+KN^2=KB.KC\) (đpcm)

c) Tam giác AKB vuông tại K, có đường cao KM nên \(AM.BM=KM^2\)

 Tương tự, ta có \(AN.CN=KN^2\)

 Từ đó \(AM.BM+AN.CN=KM^2+KN^2\)

Theo câu b), \(KM^2+KN^2=KB.KC\)

Do đó \(AM.BM+AN.CN=KB.KC\) (đpcm)