Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

∠ A =  ∠ B = 90 0

AP = BQ (gt)

Do đó: △ APQ =  △  BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét  △  BQM và  △ CMN:

BM = CN (gt)

∠ B =  ∠ C =  90 0

BQ = CM (gt)

Do đó:  △  BQM =  △ CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét  △  CMN và  △  DNP:

CN = DP (gt)

∠ C =  ∠ D =  90 0

CM = DN (gt)

Do đó:  △ CMN =  △ DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên  △ APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên  △ BMQ vuông cân tại B

⇒  ∠ (AQP) =  ∠ (BQM) = 45 0

∠ (AQP) +  ∠ (PQM) +  ∠ (BQM) =  180 0  (kề bù)

⇒  ∠ (PQM) =  180 0  - ( ∠ (AQP) +  ∠ (BQM) )

            =  180 0 - ( 45 0  + 45 0 ) =  90 0

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

a) và b) Chứng minh nhờ tính chất đường trung bình của tam giác

c) Để chứng minh MNQR là ngũ giác đều ta cần chứng minh hai điều : Hình đó có tất cả các cạnh bằng nhau và có tất cả các góc bằng nhau.

tớ giải rồi , xem bên dưới nha

Xét ΔBAD có

M,Q lần lượt là tđiểm của AB và AD

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB và CD

nên NP là đường trung bình

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành(5)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA và BC

nên MN là đường trung bình

=>MN=AC/2=BD/2=MQ(3) và MN//AC
=>MN vuông góc với MQ(4)

Từ (3), (4)và (5) suy ra MNPQ là hình vuông

a: Xét ΔBAD có

M,Q lần lượt là tđiểm của AB và AD

nên MQ là đường trung bình

=>MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có

N,P lần lượt là trung điểm của CB và CD

nên NP là đường trung bình

=>NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành(5)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA và BC

nên MN là đường trung bình

=>MN=AC/2=BD/2=MQ(3) và MN//AC
=>MN vuông góc với MQ(4)

Từ (3), (4)và (5) suy ra MNPQ là hình vuông

Trong tam giác ABD có: MQ là đường trung bình 

=> MQ = 1/2 BD (1)

Trong tam giác ABC có : MN là đường trung bình 

=> MN = 1/2 AC (2)

mà AC = BD và AC vuông góc với BD (3)

Từ (1) (2) và (3) => MQ = MN và MQ vuông góc với MN

=> tứ giác MNPQ là hình vuông

a: Xét tứ giác BMDP có

BM//DP

BM=DP

=>BMDP là hình bình hành

b: Xet ΔADH có P là trung điểm của AD và PQ//DH

=>Q là trung điểm của AH

ΔABP=ΔDAN

=>góc ABP=góc DAN

=>góc ABP+góc BAQ=90 độ

=>ΔABQ vuông tại Q

=>BQ vuông góc AH

=>ΔBAH cân tại B

=>BA=BH