Question

Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều)

Answer 1

Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

∠ A =  ∠ B = 90 0

AP = BQ (gt)

Do đó: △ APQ =  △  BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét  △  BQM và  △ CMN:

BM = CN (gt)

∠ B =  ∠ C =  90 0

BQ = CM (gt)

Do đó:  △  BQM =  △ CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét  △  CMN và  △  DNP:

CN = DP (gt)

∠ C =  ∠ D =  90 0

CM = DN (gt)

Do đó:  △ CMN =  △ DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên  △ APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên  △ BMQ vuông cân tại B

⇒  ∠ (AQP) =  ∠ (BQM) = 45 0

∠ (AQP) +  ∠ (PQM) +  ∠ (BQM) =  180 0  (kề bù)

⇒  ∠ (PQM) =  180 0  - ( ∠ (AQP) +  ∠ (BQM) )

            =  180 0 - ( 45 0  + 45 0 ) =  90 0

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.