Để M nguyên thì \(5⋮\sqrt{a}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+1\in\left\{1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\in\left\{0;4\right\}\)

hay \(a\in\left\{0;16\right\}\)

Tham khảo:  Cho tứ giác ABCD có góc C + góc D = 90 độ. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn - Toán học Lớp 9 - Bài tập Toán học Lớp 9 - Giải bài tập Toán học Lớp 9 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

S là trung điểm của AD

Do đó: MS là đường trung bình của ΔBAD

Suy ra: MS//BD và \(MS=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

mà BD\(\perp\)AC

nên MS\(\perp\)AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC

và AC\(\perp\)MS

nên MN\(\perp\)MS

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

R là trung điểm của CD

Do đó: RN là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: RN//BD và \(RN=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra MS//NR và MS=NR

Xét tứ giác MSRN có 

MS//NR

MS=NR

Do đó: MSRN là hình bình hành

mà \(\widehat{SMN}=90^0\)

nên MSRN là hình chữ nhật

Suy ra: M,S,R,N cùng thuộc 1 đường tròn

a/ Tam giác AMN cân tại A (gt). \(\Rightarrow\) \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM};AM=AN.\)

Xét tam giác AMB và tam giác ANC có:

+ AM = AN (cmt).

+ \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\left(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\right).\)

+ MB = NC (gt).

\(\Rightarrow\) Tam giác AMB = Tam giác ANC (c - g - c).

\(\Rightarrow\) AB = AC (cặp cạnh tương ứng).

Xét tam giác ABC có: AB = AC (cmt).

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A.

b/ Tam giác ABC cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{MBH;}\widehat{ACB}=\widehat{NCK}\text{​​}\) (đối đỉnh).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}.\)

Xét tam giác MBH và tam giác NCK \(\left(\widehat{BHM}=\widehat{CKN}=90^o\right)\)có:

+ MB = NC (gt).

+ \(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tam giác MBH = Tam giác NCK (cạnh huyền - góc nhọn).

c/ Tam giác MBH = Tam giác NCK (cmt).

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BMH}=\widehat{CNK}\) (cặp góc tương ứng).

Xét tam giác OMN có: \(\widehat{NMO}=\widehat{MNO}\) (do \(\widehat{BMH}=\widehat{CNK}\)).

\(\Rightarrow\) Tam giác OMN tại O.

Để A là số nguyên thì \(-5⋮2\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1\in\left\{1;5\right\}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}\in\left\{0;4\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;4\right\}\)

Để A là số nguyên thì \(\sqrt{x}-1⋮2\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+3-5⋮2\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+3=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\)

hay x=1

\(A=\dfrac{x-7}{\sqrt{x}-2}-1\) để A nguyên thì \(\dfrac{x-7}{\sqrt{x}-2}nguyên\) 

đặt \(\dfrac{x-7}{\sqrt{x}-2}=k\)(k nguyên)

tìm x theo k là ok

Để A là số nguyên thì \(x-\sqrt{x}-5⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2-3⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow-3⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{-1;1;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{1;3;5\right\}\)

hay \(x\in\left\{1;9;25\right\}\)

\(x.P=10\sqrt{x}-29-\left|x-5\right|\)

\(\Leftrightarrow x-4=10\sqrt{x}-29-\left|x-5\right|\)

\(\Leftrightarrow x-10\sqrt{x}+25+\left|x-5\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-5\right)^2+\left|x-5\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-5=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(P=\dfrac{x-4}{x}\Rightarrow x\cdot P=x-4\)

\(x\cdot P=10\sqrt{x}-29-\left|x-5\right|\\ \Leftrightarrow x-4=10\sqrt{x}-29-\left|x-5\right|\\ \Leftrightarrow x-10\sqrt{x}+25+\left|x-5\right|=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+5\right)^2+\left|x-5\right|=0\)

Mà \(\left(\sqrt{x}+5\right)^2>0;\left|x-5\right|\ge0\Rightarrow\left(\sqrt{x}+5\right)^2+\left|x-5\right|>0\)

\(\Rightarrow x\in\varnothing\)

P/s: mình ko hiểu cái gợi ý nha