Cho \(\Delta ABC\)có M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh giao điểm 3 đường trung trực của \(\Delta ABC\)là trực tâm của \(\Delta MNE\).
Cho\(\Delta ABC\)có 3 đường trung trực của AB,AC,BC lần lượt cắt AB,AC,BC tại M,N,P. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp của\(\Delta ABC\)chính là trực tâm\(\Delta MNP\)
a) Tứ giác ANHM có 3 góc vuông : AMH ; MAN ; ANH nên là hình chữ nhật
b) Hình chữ nhật ANHM có AH cắt MN tại trung điểm mỗi đường nên OA =\(\frac{AH}{2};ON=\frac{MN}{2}\)mà AH = MN nên OA = ON
\(\Rightarrow\Delta OAN\)cân tại O (1)
Ta lại có :\(\Delta ABC,\Delta AHC\)lần lượt vuông tại A,H có\(\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{OAN}=\widehat{ONA}\)(do 1)
mà\(\widehat{ONA}+\widehat{ONC}=180^0\)(kề bù).Vậy tứ giác BCNM có\(\widehat{B}+\widehat{MNC}=180^0\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{BMN}=180^0\)
c)\(\Delta ANM,\Delta ABC\)cùng vuông tại A có\(\widehat{B}=\widehat{MNA}\Rightarrow\Delta ANM~\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}\)=> AM.AB = AN.AC
d)\(\Delta ABC\)vuông tại A có I là trung điểm BC nên trung tuyến AI =\(\frac{BC}{2}\)mà BI =\(\frac{BC}{2}\)nên AI = BI
\(\Rightarrow\Delta ABI\)cân tại I =>\(\widehat{BAI}=\widehat{B}=\widehat{MNA}\)mà\(\Delta AMN\)vuông tại A có\(\widehat{AMN}+\widehat{MNA}=90^0\)
Gọi giao điểm AI và MN là P thì\(\Delta AMP\)có \(\widehat{MAP}+\widehat{AMP}=90^0\)nên\(\Delta AMP\)vuông tại P => AI _|_ MN
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, có BC=10cm , AC=8cm .kẻ đường phân giác BI ( I \(\in\) AC ), Kẻ ID vuông góc với BC ( D \(\in\) BC ).
a/ Tính AB
b/ Chứng minh \(\Delta\)AIB=\(\Delta DIB\)
c/ Chứng minh BI là đường trung trực của AD
d/ Gọi E là giao điểm của BA và DI . Chứng minh BI vuông góc với EC
ai làm đc cho 10 điểm
a) ΔABC vuông tại A
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
BC2 = AC2+AB2
⇒BC2-AC2=AB2
⇒100-64=AB2
⇒36=AB
⇒AB=6(cm)
b) Xét ΔAIB và ΔDIB có:
góc BAI = góc BDI (= 90 độ)
Chung IB
góc IBA = góc IBD (gt)
⇒ ΔAIB = ΔDIB (ch-gn)
⇒ BA = BD (2 cạnh tương ứng)
c) Gọi giao BI và AD là F
Xét ΔABF và ΔDBF có:
AB = DB (cmb)
góc ABF = góc DBF (gt)
chung BF
⇒ ΔABF = ΔDBF (c.g.c)
⇒ FA = FD (2 cạnh tương ứng)
góc BFA = góc BFD (2 góc tương ứng) mà góc góc này kề bù nên góc BFA = góc BFD = 90 độ ⇒ BF⊥AD
Vì FA = FD, BF⊥AD ⇒ BI là đường trung trực của AD
d) Gọi giao của BI và EC là G
Xét ΔEBC có: CA⊥BE, ED⊥BC nên I là trọng tâm của ΔEBC nên BG là đường cao thứ 3 của ΔEBC ⇒ BG⊥EC ⇒ BI⊥EC
a, xét tam giác ABC vuông tại A có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\left(Pytago\right)\)
\(=>AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6cm\)
b, ta có BI là phân giác góc ABD=> góc ABI=góc DBI(1)
có ID vuông góc BC=>góc BDI=90 độ
mà tam giác ABC vuông tại A=>góc BAI=90 độ
=> góc BAI=góc BDI(=90 độ)(2)
có BI cạnh chung giữa 2 tam giác AIB và tam giác DIB(3)
từ(1)(2)(3)=>tam giác AIB=tam giác DIB(c.g.c)
c,gọi giao điểm BI và AD là K
,ta có tam giác AIB=tam giác DIB=>AB=BD
=>tam giác BAD cân tại B có BI là phân giác nên đồng
thời là trung trực của AD tại K
d,gọi giao điểm BI với EC là M
xét tam giác BEC có ED vuông góc với BC(vì ID vuông góc BC)
có CA vuông góc BE(vì góc BAC=90 độ)
=>EI vuông góc với BC tại D
CI vuông góc BE tại A
=>I là trực tâm tam giác BEC=>BI vuông góc EC tại M
Trên ba cạnh AB; AC: BC của tam giác đều ABC . Lấy các điểm theo thứ tự M; N; P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực của \(\Delta ABC\). C/minh O cũng là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta MNP\).
Bài 1: Cho \(\Delta\)ABC nhọn, đường cao AH. Vẽ D sao cho AB là trung trực của HD. Vẽ E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh:
a, \(\Delta ACE\)cân
b, HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
Bài 2: Cho \(\Delta\)ABC có \(\widehat{A}\)= 90. Đường trung trực của BC cắt AC tại D biết AD = AB. Tính \(\widehat{B}\widehat{,C}\) của tam giác ABC
Bài 3: Cho \(\Delta\)ABC, \(\widehat{A}\) = 120 độ, phân giác AD. Từ B, kẻ đường thẳng song song AD cắt CA tại E.
a, Chứng minh \(\Delta ABE\)đều
b, So sánh các cạnh của \(\Delta BEC\)
bài này làm được nhưng nhại đánh máy ra.... lên mạng mà search bạn ạ
Cho tam giác ABC, có trực tâm H. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AC. Gọi O là giao điểm cua các đường trung trực của tam giác.
a. CM. \(\Delta OMN\)\(~\)\(\Delta HAB\)
b. So sánh AH và OM
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác .CMR: 3 điểm H , G , O thẳng hàng
Trên ba cạnh AB; AC: BC của tam giác đều ABC . Lấy các điểm theo thứ tự M; N; P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực của \(\Delta ABC\). C/minh O cũng là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta MNP\).
Cho \(\Delta ABC\), O là giao điểm các đường trung trực, H là trực tâm và M là trung điểm của cạnh BC. Gọi K là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh A và K đối xứng nhau qua O
Cho \(\Delta\)ABC cân tại A, có góc A=120 độ. Các đường trung trực của 2 cạnh AB,AC cắt tại O và cắt BC lần lượt tại E và F.CMR:
a)AO là trung trực của BC
b)E,F lần lượt là trọng tâm của \(\Delta\)AOB và\(\Delta AOC\)
c)BE=EF=FC
a, Xét ∆ ABC có đg ttrực của AB và AC giao nhau tại O
➡️O là tâm đg tròn ngoại tiếp ∆ ABC
➡️AO là đg ttrực của BC (đpcm)
b, Gọi giao điểm của AO là BC là H.
Xét ∆ ABC cân tại A
➡️AO là đg ttrực đồng thời là đg phân giác
➡️Góc BAO = góc CAO = góc BAC ÷ 2 = 120° ÷ 2 = 60°
Vì O là tâm đg tròn ngoại tiếp ∆ ABC (cmt)
➡️OA = OB = OC
Xét ∆ ABO cân tại O (OA = OB) có góc BAO = 60°
➡️∆ ABO đều
➡️BH là đg cao đồng thời là ttuyến
➡️BH là đg ttuyến của AC
mà E là giao của ttrực AB và ttuyến AO
➡️E là trọng tâm ∆ ABO
C/m tương tự ta có F là trọng tâm ∆ ACO (đpcm)
c, Xét ∆ ABC cân tại A
Góc ABC = góc ACB = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°
Gọi OM và ON lần lượt là đg ttrực của AB và AC
Vì AB = AC ➡️AM = BM = AN = CN
Xét ∆ vuông BEM và ∆ CFN có:
Góc M = góc N = 90°
BM = CN (cmt)
Góc ABC = góc ACB (cmt)
➡️∆ vuông BEM = ∆ vuông CFN (ch - gn)
➡️BE = CF ( 2 cạnh t/ư) (1)
ME = NF (2 cạnh t/ư)
Xét ∆ vuông BEM có góc ABC = 30°
➡️Góc BEM = 90° - 30° = 60°
mà góc BEM đối đỉnh với góc OEH
➡️Góc BEM = góc OEH = 60°
Xét ∆ OBE có góc EBO = góc EOB = 60° ÷ 2 = 30°
➡️∆ OBE cân tại E
➡️BE = OE
Ta có: OE + ME = OM
OF + NF = ON
mà OM = ON, ME = NF
➡️OE = OF
Xét ∆ OEF cân tại O (OE = OF) có góc OEH = 60°
➡️∆ OEF đều
➡️OE = EF
mà OE = BE (cmt)
➡️BE = EF (2)
Từ (1) và (2) ➡️BE = EF = CF (đpcm)
Hok tốt~
P/s : ôi mỏi tay quá k mk với~
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H,G,O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đường trung trực của tam giác. AG cắt BC ở M. I là trung điểm của GA. K là trung điểm của GH. Chứng minh rằng:
a, OM = 1/2AH
b, \(\Delta IGK=\Delta MGO\)
c, H,O,G thẳng hàng
d, GH = 2GO