b:Ta có: \(AB\cdot HE+AC\cdot HF\)

\(=AH\cdot HB+AH\cdot HC\)

\(=AH\cdot BC\)

\(=AB\cdot AC\)

a) \(BC=BH+HC=3,6+6,4=10\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AB^2=BC.BH\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BC.BH}=\sqrt{10.3,6}=6\left(cm\right)\)

Tương tự:

\(AC=\sqrt{BC.CH}=\sqrt{10.6,4}=8\left(cm\right)\)

Ta có: \(AH^2=BH.CH\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{3,6.6,4}=4,8\left(cm\right)\)

b) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) nên EF = AH = 4,8 (cm)

c) Tam giác AHB vuông tại H có EH là đường cao (gt) \(\Rightarrow AH^2=AB.AE\)

Tương tự tam giác AHC ta có \(AH^2=AC.AF\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)

Xét tam giác AEF và tam giác ABC có:

\(\widehat{FAE}.chung\)

\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\left(vì.AB.AE=AC.AF\right)\)

Do đó tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC.

mình chịu thoiii

a: BC=5cm

AH=2,4cm

BH=1,8cm

CH=3,2cm

Bài 2: 

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AE\cdot EB=HE^2\)

b: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{FAE}=\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: FE=AH và \(\widehat{FHE}=90^0\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AF\cdot FC=FH^2\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔFHE vuông tại H, ta được:

\(HF^2+HE^2=FE^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=AE\cdot EB+AF\cdot FC\)

1) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)(cm)

BH \(=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{9}{5}\)(cm)

\(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{16}{5}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12}{5}\left(cm\right)\)

2) a) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được điều phải chứng minh.

b)Chứng minh tương tự câu a), ta được:

AF.FC=HF^2

Lại có:

Tứ giác AFHE có 3 góc vuông nên từ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra, HF = AE

Suy ra, AF.FC=AE^2

Mà AE.EB=HE^2

Nên AF.FC+AE.EB=AE^2+HE^2=AH^2(đpcm)

3) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác, ta được:

\(BE=\cos B.BH=\cos B.\left(\cos B.AB\right)=\cos^2B.AB=\cos^2B.\left(\cos B.BC\right)=\cos^3.BC\left(đpcm\right)\)

1: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=25\)

=>BC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=2,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}BH\cdot BC=BA^2\\CH\cdot CA=CA^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{3^2}{5}=1,8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{4^2}{5}=3,2\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

2: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot EB=HE^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot FC=HF^2\)

\(AE\cdot EB+AF\cdot FC=HE^2+HF^2=EF^2=AH^2\)

3: Xét ΔBAC vuông tại B có \(cosB=\dfrac{BA}{BC}\)

Xét ΔBHA vuông tại H có \(cosB=\dfrac{BH}{BA}\)

Xét ΔBEH vuông tại E có \(cosB=\dfrac{BE}{BH}\)

\(cos^3B=cosB\cdot cosB\cdot cosB\)

\(=\dfrac{BA}{BC}\cdot\dfrac{BH}{BA}\cdot\dfrac{BE}{BH}=\dfrac{BE}{BC}\)

=>\(BE=BC\cdot cos^3B\)

a, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác : AC^2 = HC.BC => AC = căn ( HC.BC) = 8 (cm )

AB^2 = HB.BC  => AB = căn( HB.BC) = 6 ( cm )

AH.BC = AB.AC => AH = AB.AC : BC =4,8(cm)

b, Trong tam giác vuông HAB, đường cao HE ta có : HA^2 = AB.AE (1)

Trong tam giác vuông HAC, đường cao HF ta có : HA^2 = AC.AF  (2)

Từ (1) và (2) ta có :  AB.AE = AC.AF  ( = AH^2)  ( đpcm)

Hình em tự vẽ nhé