a) Nhận thấy AB + BC = AC nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C

b, c) HS tự làm.

d) Nhận thấy AB + AC = 1 2 BC +  1 2 BC = BC nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có: \(a^2+3=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\dfrac{a}{a^2+7}+\dfrac{b}{b^2+7}+\dfrac{c}{c^2+7}\le\sum\dfrac{a}{4\sqrt{a^2+3}}=\sum\dfrac{a}{4\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\sum\dfrac{a}{4}.\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\sum\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)=\dfrac{3}{8}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s:\(\sum\limits_{x,y,z}x=x+y+z\) :Tổng hoán vị

Akai Haruma giúp em với !!!

Một bài bất đẳng thức khá đặc trưng với phương pháp đổi biến p,q,r. Mình sẽ phiên từ lời giải đổi biến sang biến đổi tương đương nhé. 
\(ab+bc+ca\le\dfrac{2}{7}+\dfrac{9abc}{7}\\ \Leftrightarrow7\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\le2\left(a+b+c\right)^3+9abc\\ \Leftrightarrow7\left(a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3abc\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2c+3b^2a+3c^2a+3c^2b+6abc\right)+9abc\\ \Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3\ge a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\left(1\right)\)Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho cặp 3 số dương ta có:

\(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b;b^3+b^3+c^3\ge3b^2c;c^3+c^3+a^3\ge3c^2a\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

Tương tự : \(a^3+b^3+c^3\ge a^2c+b^2a+c^2b\)

Suy ra (1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3 

---- Tick cho mình với ----- 

\(\text{Ta có: }\hept{\begin{cases}a+b=5\\b+c=-7\end{cases}\Leftrightarrow a+b-b-c=12\Leftrightarrow a-c=12}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\b+c=-7\\a-c=12\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2=25\\\left(b+c\right)^2=49\\\left(a-c\right)^2=144\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ac\right)=25+49+144=218\)

\(\Leftrightarrow D=a^2+b^2+c^2+ab+bc-ac=109\)

\(\text{Vậy }D=109\)