Áp dụng bất đẳng thức: x² + a²y² \(\ge\)2axy, ta có:

\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(xy+yz+zx\right)\le\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(x^2+y^2\right)+\left[y^2+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2x^2\right]+\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2z^2+x^2\right]}{2}\)=

\(\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)\left(x^2+y^2\right)+2\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2z^2}{2}\)

\(\Rightarrow\left(1+\sqrt{5}\right)\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(x^2+y^2\right)+\left(3+\sqrt{5}\right)z^2\)\(\Rightarrow x^2+y^2-2z^2\ge\sqrt{5}-1\)\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}-1\)

Vậy GTNN của P là \(\sqrt{5}-1\)khi \(x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}z.\)

\(P-\left(\sqrt{5}-1\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(2x-\sqrt{5}y+y-\sqrt{5}z+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(\sqrt{\sqrt{5}-1}y-\sqrt{\sqrt{5}+1}z\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[4]{5}};z=\sqrt{\frac{3}{2\sqrt{5}}-\frac{1}{2}}\)

P/s: Em thực sự không muốn làm cách này, cân bằng hệ số đi cho nó khỏe chứ cách này làm gì cho mệt, nhưng tại anh Cool Kid kêu ạ!

\(T=\dfrac{\left(xy\right)^2}{zx+zy}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\dfrac{\left(zx\right)^2}{yx+yz}\ge\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)

Mình quên yêu cầu bài 2: Tìm GTNN GTLN của x.

yêu cầu bài 2 Tìm giá trị min max của x

áp dụng bđt bunhia đê 

Áp dụng bđt bu nhi a cốp xki : 

\(\left(2x^2+y^2\right)\left(\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(1\right)^2\right)\ge\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+y.1\right)^2=\left(2x+y\right)^2\)

=> \(\sqrt{2x^2+y^2}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2x+y\right)\) => \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2x+y}{xy}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

CM tương tự với hai cái còn lại 

=> \(P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\cdot\sqrt{3}=3\)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y =z = căn 3 

\(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\frac{4x^2}{y+z}\)

Do đó \(P\ge\frac{4x^2}{y+z}+\frac{4y^2}{z+x}+\frac{4z^2}{x+y}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=2\)(Vì x+y+z = 1)

Vậy Min P= 2. Dấu "=" có <=> x = y = z = 1/3.

Đặt \(A=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(2A=x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(x+y+z\right)^2\)

\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{3}=12\Rightarrow A\ge6\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1