1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

1:

a: =x^2-7x+49/4-5/4

=(x-7/2)^2-5/4>=-5/4

Dấu = xảy ra khi x=7/2

b: =x^2+x+1/4-13/4

=(x+1/2)^2-13/4>=-13/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

e: =x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4>=3/4

Dấu = xảy ra khi x=1/2

f: x^2-4x+7

=x^2-4x+4+3

=(x-2)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=2

2:

a: A=2x^2+4x+9

=2x^2+4x+2+7

=2(x^2+2x+1)+7

=2(x+1)^2+7>=7

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: x^2+2x+4

=x^2+2x+1+3

=(x+1)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=-1

B = | x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-5|

Ta có : 

B = |x-1| + |x-2| + |3-x| + |5-x| 

B = (|x-1|+|5-x|) + (|x-2| + |3-x| ) \(\ge\) |x-1+5-x| + | x-2+3-x | = |4| + |1| = 5 

Dấu ''='' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(5-x\right)\ge0\\\left(x-2\right)\left(3-x\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1\le x\le5\\2\le x\le3\end{cases}}\Leftrightarrow2\le x\le3\) 

Vậy MinB = 5 <=>\(2\le x\le3\)

Ta có : \(\left|x+3\right|\ge x+3\)

             \(\left|x-2\right|\ge2-x\)

             \(\left|x-5\right|\ge0\)

\(\Rightarrow B=\left|x+3\right|+\left|x-2\right|+\left|x-5\right|\ge x+3+2-x=5\)

\(Min_B=5\Leftrightarrow\begin{cases}x+3\ge0\rightarrow x\ge-3\\x-2\le0\rightarrow x\le2\end{cases}.\)

a) Ta có : \(A=\left|x+1\right|+\left|y-2\right|\)

\(\ge\left|x+1+y-2\right|\)

\(=\left|x+y-1\right|=\left|5-1\right|=\left|4\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> (x + 1)(y - 2) \(\ge\)0

Vậy Min A = 4 <=>  (x + 1)(y - 2) \(\ge\)0

a)

Ta có : \(A=\left|x-2\right|+\left|x-5\right|=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left|x-2+5-x\right|=3\)

\(\Rightarrow A\ge3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}x-2\ge0\\5-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow2\le x\le5\)

Vậy MIN_A=3 khi \(2\le x\le5\)

b)

Ta có :

\(\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|x-2016\right|\ge\left|x-1+2016-x\right|=2015\\\left|x-2\right|+\left|x-2015\right|\ge\left|x-2+2015-x\right|=2013\\...\\\left|x-1008\right|+\left|x-1009\right|\ge\left|x-1008+1009-x\right|=1\end{cases}\)

\(\Rightarrow B\ge1+3+....+2015\)=1016064

Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}\begin{cases}x-1\ge0\\2016-x\ge0\end{cases}\\....\\\begin{cases}x-1008\ge0\\1009-x\ge0\end{cases}\end{cases}\)\(\Rightarrow1008\le x\le1009\)

Vậy ...........

A = |x - 2| + |x - 5|

A = |x - 2| + |5 - x|

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) \(\forall x;y\)ta có:

\(A=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left(x-2\right)+\left(5-x\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-2\ge0\\x-5\le0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge2\\x\le5\end{cases}\)\(\Rightarrow2\le x\le5\)

Vậy GTNN của A là 3 khi \(2\le x\le5\)

B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ... + |x - 2016|

B = |x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 1008| + |x - 1009| + |x - 1010| + ... + |x - 2016|

B = |x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 1008| + |1009 - x| + |1010 - x| + ... + |2016 - x|

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)\(\forall x;y\) ta có:

\(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+...+\left|x-1008\right|+\left|1009-x\right|+\left|1010-x\right|+...+\left|2016-x\right|\)

\(\ge\left(x-1\right)+\left(x-2\right)+...+\left(x-1008\right)+\left(1009-x\right)+\left(1010-x\right)+...+\left(2016-x\right)\)

\(B\ge1008^2=1016064\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\1009-x\le0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le1009\end{cases}\)\(\Rightarrow1\le x\le1009\)

Vây GTNN của B là 1016064 khi \(1\le x\le1009\)

A=3

B=2015