Có \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>ad=bc\) => a² = ad => a=d

Xét \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

<=> (a+b)(c-a) = (a-b)(c+a)

<=> (a+b)(c-d) = (a-b)(c+d)

<=> ac - ad + bc - bd = ac + ad -bc -bd

<=> 2bc = 2ad (luôn đúng) => đpcm

Ta có: \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

=> \(\left(a+b\right).\left(c-a\right)=\left(a-b\right).\left(c+a\right)\)

=> \(bc-a^2-ab=a^2-bc-ab\)

=> \(2a^2=2bc\)

Triệt tiêu => \(a^2=bc\left(đpcm\right)\)

Vậy a² = bc

CHÚC BẠN HỌC TỐT

nhân chéo lên nha bạn rút gọn ac ta đc  bc-a ^ 2 - ab= a ^ 2-bc-ab <=>2a ^ 2= 2bc <=> a ^ 2= bc=>ďpcm

a) a² = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

b) a² = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{b}.\frac{c}{a}=\frac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

\(a.d=b.c\)

\(\Rightarrow a.d+a.c=b.c+a.c\)

\(\Rightarrow a\left(d+c\right)=c\left(b+a\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\)( đpcm )

\(a.d=b.c\)

\(\Rightarrow a.d-a.c=b.c-a.c\)

\(\Rightarrow a\left(d-c\right)=c\left(b-a\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)( đpcm )

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) , ta được : 

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng các BĐT trên theo vế : \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.

Cho a,b.c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR: 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ≥ 1 / a +1 / b +1 / c 

Áp dụng BĐT 1 / x +1 / y ≥ 4 / x+y  , ta được : 

1 / a+b−c + 1 / b+c−a ≥ 4 / 2b = 2 / b 

1 / b+c−a +1 / c+a−b ≥ 4 / 2c = 2 / c 

1 / a+b−c +1 / c+a−b ≥ 4 / 2a = 2 / a 

Cộng các BĐT trên theo vế : 2( 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ) ≥ 2( 1 / a + 1 / b + 1 / c )

⇒ 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b  ≥ 1 / a + 1 / b + 1 / c 

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.

Áp dụng BĐT  x 1 + y 1 ≥ x + y 4  , ta được :  a + b − c 1 + b + c − a 1 ≥ 2b 4 = b 2 b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2c 4 = c 2 a + b − c 1 + c + a − b 1 ≥ 2a 4 = a 2 Cộng các BĐT trên theo vế : 2 a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2 a 1 + b 1 + c 1 ⇒ a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.\(Áp dụng BĐT  x 1 + y 1 ≥ x + y 4  , ta được :  a + b − c 1 + b + c − a 1 ≥ 2b 4 = b 2 b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2c 4 = c 2 a + b − c 1 + c + a − b 1 ≥ 2a 4 = a 2 Cộng các BĐT trên theo vế : 2 a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2 a 1 + b 1 + c 1 ⇒ a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.\)

Thay vì áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau,ta áp dụng cách đặt k cho ngắn! =)

a) Chứng minh: Nếu \(a^2=bc\) thì \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

Đặt \(a^2=bc=k\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kc\\b=ka\end{cases}}\). Thay vào,ta có:

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{kc+ka}{kc-ka}=\frac{k\left(c+a\right)}{k\left(c-a\right)}=\frac{c+a}{c-a}^{\left(đpcm\right)}\)

b)Bạn tham khảo bài của Đỗ Ngọc Hải ở đây nhé: Câu hỏi của ngô minh hoàng - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Với a,b,c>0 .

áp dụng bđt cosi,ta có:

b.c/a+c.a/b>_2c (1)

c.a/b+a.b/c>_2a (2)

a.b/c+b.c/a>_2b ((3)

Cộng (1),,(2),,(3) vế theo vế ,ta được:

2.(b.c/a+c.a/b+a.b/c)>_ 2.(a+b+c)

=>b.c/a+c.a/b+a.b/c>_ a+b+c (đpcm)