Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Big City Boy
Xem chi tiết
Trần Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
alibaba nguyễn
8 tháng 11 2017 lúc 9:37

\(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=-c\)

\(\Leftrightarrow2a+3b+2ab\sqrt{6}=c^2\)

\(\Leftrightarrow2ab\sqrt{6}=c^2-2a-3b\)

Vì VT là số vô tỷ còn VP là số hữu tỷ nên để 2 vế bằng nhau thì.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=0\\c^2-2a-3b=0\end{cases}}\)

Với \(a=0\)

\(\Rightarrow b\sqrt{3}=-c\)

\(\Rightarrow b=c=0\)

Với \(b=0\)

\(\Rightarrow a\sqrt{2}=-c\)

\(\Rightarrow a=c=0\)

Vậy \(a=b=c=0\)

Trần Thanh Hải
Xem chi tiết
tth_new
29 tháng 1 2019 lúc 14:09

Easy!

\(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(b+c\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(c+a\right).\frac{2}{3}}\right]\) (*)

Áp dụng BĐT Cô si ngược,ta có: 

(*) \(\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}+\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}+\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\right]\)

\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b+c+1\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}.2=\sqrt{6}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)

Phạm Mỹ Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Thảo Nhi
Xem chi tiết
Phước Nguyễn
9 tháng 8 2016 lúc 11:12

Cho  \(a,b,c\in Q\)  thỏa mãn  \(a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0\)   \(\left(i\right)\)

Chứng minh rằng:  \(a=b=c=0\)

\(-------\)

Chứng minh bổ đề:  \(\sqrt[3]{2}\)  là một số vô tỉ.

Đối với loại bài toán trên, ta cần dùng phương pháp phản chứng để tìm đáp án.

Thật vậy, giả sử  \(R=\sqrt[3]{2}\)  là một số hữu tỉ.

Tức là phải tồn tại các số nguyên  \(m,n\)  sao cho  \(R=\frac{m}{n}\) nên  \(R\) là nghiệm hữu  tỉ của phương trình:

\(\left(\frac{m}{n}\right)^3=2;\)

Suy ra  \(m\inƯ\left(2\right),\)   \(n\inƯ\left(1\right)\)  

Tuy nhiên, lại không tồn tại  \(m\) nào  là ước của  \(2\)  mà lũy thừa \(3\) (lập phương) bằng  \(2\) 

Do đó, suy ra điều giả sử sai!

Vậy,  \(R\)  là một số vô tỉ.

\(-------\)

Ta có:

\(\left(i\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(c\sqrt[3]{2^2}+b\sqrt[3]{2}+a=0\)  \(\left(ii\right)\)

Đặt  \(a=z;\)  \(b=y;\)và   \(c=x\)  \(\Rightarrow\)  \(x,y,z\in Q\)

Ta biểu diễn lại phương trình   \(\left(ii\right)\)  dưới dạng ba biến số  \(x,y,z\)  như sau:

\(x\sqrt[3]{2^2}+y\sqrt[3]{2}+z=0\)  \(\left(\alpha\right)\)

Giả sử phương trình  \(\left(\alpha\right)\) tồn tại với ba ẩn  \(x,y,z\)  được xác định, ta có:

\(y\sqrt[3]{2^2}+z\sqrt[3]{2}+2x=0\)  \(\left(\beta\right)\)

Từ  \(\left(\alpha\right);\left(\beta\right)\)  suy ra được  \(\left(y^2-xz\right)\sqrt[3]{2}=\left(2x^2-yz\right)\)

Nếu  \(2x^2-yz\ne0\)  \(\Rightarrow\)  \(\sqrt[3]{2}=\frac{2x^2-yz}{y^2-xz}\)  là một số hữu tỉ. Trái với giả thiết!

\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}y^2-xz=0\\2x^2-yz=0\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}y^3=xyz\\yz=2x^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)  \(y^3=2x^3\)  hay nói cách khác,  \(y=x\sqrt[3]{2}\)

Nếu   \(y\ne0\)  thì  \(\sqrt[3]{2}=\frac{y}{x}\in Q\)   (mâu thuẫn với giả thiết theo bổ đề trên)

\(\Rightarrow\) \(x=0;y=0\)  

Từ đó, ta dễ dàng chứng minh được  \(z=0\)

Do đó,  \(a=0;b=0;c=0\)  (theo cách đặt trên)

Ngược lại, nếu  \(a=b=c=0\) thì vẫn thỏa mãn  \(\left(i\right)\)  luôn đúng!

Vậy,  tóm lại tất cả các điều đã nêu trên, kết luận   \(a=b=c=0\)

doan ho thanh thao
28 tháng 7 2017 lúc 15:11

khó quá bạn ơi mik ko biết

xin lỗi bạn nha

dia fic
Xem chi tiết
Phương Lan
10 tháng 1 2021 lúc 8:56

Từ 1a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=01a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=0

Khi đó:

(√a+c+√b+c)2=a+c+b+c+2√(a+c)(b+c)(a+c+b+c)2=a+c+b+c+2(a+c)(b+c)

=a+b+2c+2√ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2√c2=a+b+2c+2ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2c2

=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2|c|

Vì a,ba,b dương nên −1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c−1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c

Do đó:

(√a+c+√b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b(a+c+b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b

⇒√a+c+√b+c=√a+b

 

Phương Lan
10 tháng 1 2021 lúc 8:56

Từ 1a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=01a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=0

Khi đó:

(√a+c+√b+c)2=a+c+b+c+2√(a+c)(b+c)(a+c+b+c)2=a+c+b+c+2(a+c)(b+c)

=a+b+2c+2√ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2√c2=a+b+2c+2ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2c2

=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2|c|

Vì a,ba,b dương nên −1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c−1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c

Do đó:

(√a+c+√b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b(a+c+b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b

⇒√a+c+√b+c=√a+b

 

hung
Xem chi tiết
Nguyễn Tất Đạt
14 tháng 10 2018 lúc 22:07

Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9\)(*)   (Do a+b+c = 3)

Ta sẽ c/m BĐT (*) luôn đúng. Thật vậy:

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm:

\(a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge3\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}.\sqrt{a}}=3a\Rightarrow a^2+2\sqrt{a}\ge3a\)

Tương tự: \(b^2+2\sqrt{b}\ge3b;c^2+2\sqrt{c}\ge3c\)

Cộng 3 BĐT trên theo vế thì có: \(a^2+b^2+c^2+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge3\left(a+b+c\right)=9\)

=> BĐT (*) luôn đúng với mọi a,b,c > 0 t/m a+b+c=3 => BĐT ban đầu đúng

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\) (đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1.

Hoàng Trung Đức
Xem chi tiết
Hoàng Trung Đức
15 tháng 9 2018 lúc 21:46

Mọi người ơi chỉ =6 thôi nha k phải 66 đâu

Nguyễn Hưng Phát
15 tháng 9 2018 lúc 21:50

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

\(\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{6}{2}=3\)(BĐT \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Công chúa Ánh Trăng
Xem chi tiết