\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)( 1 )

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)( 2 )

từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

Đề sai

1, 

\(\frac{a+2}{a-2}=\frac{b+3}{b-3}\)

<=> (a - 2)(b + 3) = (a + 2)(b - 3)

<=> ab + 3a - 2b - 6 = ab - 3a + 2b - 6

<=> 3a - 2b = -3a + 2b

<=> 6a = 4b

<=> 3a = 2b 

<=> \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\)(Đpcm)

2,

Có:

\(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)

\(=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-baz}{b^2}=\frac{cay-cbx}{c^2}\)

\(=\frac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}=0\)

=> bz - cy = 0

=> bz = cy

=> \(\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)(1)

=> cx - az = 0

=> cx = az

=> \(\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\)(2)

Từ (1) và (2)

=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)(Đpcm)

Ta có a/b =b/c 

=> a^2/b^2=a/b.a/b= a/b.b/c=a/c(1)

Lại có a/b=b/c

=> a^2/b^2=b^2/c^2=a^2+b^2  /  b^2+c^2 (t/c dãy tỉ số = nhau) (2)

Từ (1),(2) => a/c=a^2+b^2  /  b^2+c^2

Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2\)

                             => \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)mà \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
                            => \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)

Áp dung tính chất của dãy tỉ bằng nhau , ta có :

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\frac{a}{c}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)( điều phải chứng minh )

Vậy ...............

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}\)

\(=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 1 )
Tương tự,ta có:

\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-ba+ba-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 2 )
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+cb-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 3 )
Cộng vế theo vế của ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm 

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\) (tính chất dẫy tỷ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}\left(dpcm\right)\)

theo tinh chat cua day ti so bang nhau ta co:

a/b=b/c=c/a =a+b+c/b+c+a=1

suy ra: a/b=1

b/c=1

c/a=1

vay a=b=c=

Bất đẳng thức này sai nhé bạn:

Ví dụ với \(a=-10;b=-5;c=1\) thì:

\(\frac{a}{b}=\frac{-10}{-5}=2>1\)

Nhưng \(\frac{a+c}{b+c}=\frac{-10+1}{-5+1}=\frac{9}{4}>2\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Bài 2 : Theo ví dụ trên ta có : \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)=> ad < bc

Suy ra :

\(\Leftrightarrow ad+ab< bc+ba\Leftrightarrow a(b+d)< b(a+c)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

Mặt khác : ad < bc => ad + cd < bc + cd

\(\Leftrightarrow d(a+c)< (b+d)c\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Vậy : ....

b, Theo câu a ta lần lượt có :

\(-\frac{1}{3}< -\frac{1}{4}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{3}< -\frac{2}{7}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}\)

\(-\frac{1}{3}< -\frac{3}{10}\Rightarrow-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}\)

Vậy : \(-\frac{1}{3}< -\frac{4}{13}< -\frac{3}{10}< -\frac{2}{7}< -\frac{1}{4}\)

Vì a=b suy ra a/b = 1

Từ đó suy ra a+n=b+n

Suy ra a+n/b+n=1

a/b=1=a+n/b+n suy ra a/b=a+n/b+n