a: góc AMO+góc ANO=180 độ

=>AMON nội tiếp

b: Xét ΔAKM và ΔAMI có

góc AMK=góc AIM

góc MAK chung

=>ΔAKM đồng dạng với ΔAMI

=>AK/AM=AM/AI

=>AM^2=AI*AK

Xét ΔABM và ΔAMC có

góc AMB=góc ACM

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔAMC

=>AB/AM=AM/AC

=>AM^2=AB*AC=AK*AI

a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến tại A và B của (O)

=> AB⊥OB và AC⊥OC

Xét ΔAOB và ΔAOC có 

       OB=OC(=R)

Góc ABO=Góc ACO=90

       OA chung

=> ΔAOB=ΔAOC

=> AB=AC

=> A∈trung trực của BC

Có OB=OC(=R)

=>O∈trung trực của BC

=> OA là đường trung trực của BC 

Mà H là trung điểm của BC

=>A;H;O thẳng hàng

Xét ΔABO vuông tại B

=>A;B:O cùng thuộc đường tròn đường kính OA

Xét ΔACO vuông tại C

=>A;C;O cùng thuộc đuường tròn đường kính OA

=>A;B;C;O cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b) Xét (O) có BD là đường kính

=>ΔBCD vuông tại C

=> CD⊥BC

Mà OA⊥BC

=>OA//CD

=> Góc AOC=Góc OCD

Xét ΔOCD có OC=OD

=> ΔOCD cân tại O

=> Góc OCD=Góc ODC

=> Góc ODC=Góc AOC

Xét ΔAOC và ΔCDK có 

Góc AOC=Góc CDK

Góc ACO=Góc CKD=90

=>ΔAOC∞ΔCDK

=>AOCDAOCD= ACCKACCK 

=>AC.CD=CK.OA

d) Xét ΔOCK vuông tại K

=> ΔOCK nội tiếp đường tròn đường kính OC

Xét ΔOHC vuông tại H

=> ΔOHC nội tiếp đường tròn đươngf kính OC

=> Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OC

=> Góc CHK=Góc COD

Có góc BOA=Góc BCK( cùng phụ góc CBD)

Góc CHI+góc BCK=Góc BOA+ góc BAO

=>Góc CHI=Góc BAO

Mà Góc BAO=Góc CBD( cùng phụ góc ABC)

=> Góc CHI=Góc CBD

=> HI//BD

Xét ΔBCD có HI//BD và H là trung điểm của BC

=> HI là đường trung bình của ΔBCD

=> I là trung điểm của CK

hay ghê

a.Vì AM,AN là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow AM=AN\)

Mà \(OM=ON\Rightarrow M,N\) đối xứng nhau qua OA

\(\Rightarrow OK\perp MN\)

b.Vì AM là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow ON\perp AN\Rightarrow AN^2=OA^2-ON^2=64\Rightarrow AN=8\)

Mà \(OA\perp MN\Rightarrow KN\perp OA\)

\(\Rightarrow KN.OA=AN.ON=\left(2S_{ANO}\right)\Rightarrow KN=\frac{24}{5}\)

\(\Rightarrow MN=2KN=\frac{48}{5}\)

c . Vì \(OD\perp OM\Rightarrow OD//AE\)

Tương tự 

\(AD//OE\Rightarrow\)◊AEOD là hình bình hành

Ta chứng minh được AE=AD => ◊AEOD là hình thoi

\(\Rightarrow ED\perp AO=C\) là trung điểm mỗi đường 

Để DE là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow OC=R\Rightarrow OA=2R\)

Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA\(\perp\)MN tại I

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có

\(\widehat{HOA}\) chung

Do đó: ΔOHA~ΔOIC

=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OA}{OC}\)

=>\(OH\cdot OC=OA\cdot OI\)

mà \(OA\cdot OI=OM^2=OB^2\)

nên \(OB^2=OH\cdot OC\)

=>\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

Xét ΔOBC và ΔOHB có

\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

\(\widehat{BOC}\) chung

Do đó: ΔOBC~ΔOHB

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OHB}\)

mà \(\widehat{OHB}=90^0\)

nên \(\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

Xét $(O)$ có: $BC$ là dây cung
$I$ là trung điểm $BC$

$⇒OI ⊥BC$ (tính chất)

Xét $(O)$ có: $AM;AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn

$⇒AM⊥OM;AN⊥ON;AM=AN$

Xét tứ giác $AMON$ có:

$\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o$

$⇒\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$

$⇒$ Tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối $=180^o$)

$⇒$ 4 điểm $A;M;O;N$ thuộc 1 đường tròn(1)

Lại có: $\widehat{AIO}=\widehat{ANO}=90^o$

$⇒\widehat{AIO}+\widehat{ANO}=180^o$

$⇒$ Tứ giác $AION$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)

hay 4 điểm $A;I;O;N$ thuộc 1 đường tròn (2)

Từ $(1)(2)⇒$ 5 điểm $A;I;O;M;N$ thuộc 1 đường tròn (đpcm)

b, $K$ sẽ là giao điểm của $MN$ và $AC$

5 điểm $A;I;O;M;N$ thuộc 1 đường tròn

$⇒$ Tứ giác $AMIN$ nội tiếp

$⇒\widehat{AIM}=\widehat{ANM}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)

Ta có: $AM=AN⇒\triangle AMN$ cân tại $A$

$⇒\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$

$⇒\widehat{AIM}=\widehat{AMN}$

hay $\widehat{AIM}=\widehat{AMK}$

Xét $\triangle AIM$ và $\triangle AMK$ có:

$\widehat{AIM}=\widehat{AMK}$

$\widehat{A}$ chung

$⇒\triangle AIM \backsim \triangle AMK(c.g.c)$

$⇒\dfrac{AI}{AM}=\widehat{AM}{AK}$

$ ⇒AK.AI=AM^2(3)$

Xét $(O)$ có: $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $MB$)

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle ACM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

$\widehat{A}$ chung

$⇒\triangle AMB \backsim \triangle ACM(g.g)$

$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}$

Hay $AB.AC=AM^2(4)$ 

Từ $(3)(4)⇒AK.AI=AB.AC(đpcm)$

GIÚP MÌNH VỚI