Áp dụng BĐT:\(a^2+b^2\ge2ab\)(dấu "=" xảy ra khi a=b) với a=x^2,b=1 có:

\(x^4+1\ge2x^2\Leftrightarrow x^{\text{4}}+x^2+1\ge3x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x^{\text{4}}+x^2+1}\le\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy maxA=1/3 khi x=1

1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

b1: x+2y=1 => x=1-2y

P=4xy=4y(1-2y)=4y-8y²

Ta có: y²>=0(với mọi x)

=>8y²>=0(với mọi x)

=>-8y²<=0(với mọi x)

=>4y-8y²<=4y(với mọi x) hay P<=4y(với mọi x)

Do đó, GTLN của P là 4y khi:y=0

Vậy GTLN của P là 0

b3: Ta có: x^4>=0(với mọi x)

=>x^4+4>=4(với mọi x)

=>x^2/(x^4+4)<=x^2/4(với mọi x) hay A<=x^2/4(với mọi x)

Do đó, GTLN của A là x^2/4 khi x=0

Vậy GTLN của A là 0 tại x=0

b4:\(M=x-2.\sqrt{x-5}\)

Ta có: \(\sqrt{x-5}\)>=0(với mọi x)

=>2.\(\sqrt{x-5}\)>=0(với mọi x)

=>-2.\(\sqrt{x-5}\)<=0(với mọi x)

=>x-2.\(\sqrt{x-5}\)<=x(với mọi x) hay M<=x(với mọi x)

Do đó, GTLN của M là x tại \(\sqrt{x-5}\)=0

                                                 x-5=0

                                                x=0+5=5

Vậy GTLN của M là 5 tại x=5

Bài 1:thay x= 1-2y vào biểu thức P=4xy ta có:

P= 4(1-2y)y= -8\(y^2\)+4y=-8(\(y^2\)-\(\frac{y}{2}\))= -8[(\(y^2\)-2.y.\(\frac{1}{4}\)+\(\left(\frac{1}{4}\right)^2\))-\(\left(\frac{1}{4}\right)^2\)]

=-8[\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)-\(\frac{1}{16}\)]=-8.\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)+\(\frac{1}{2}\)

Ta có -8\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)\(\le\)0 

=> P=-8\(\left(y-\frac{1}{4}\right)^2\)+\(\frac{1}{2}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)

Vậy P đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{1}{2}\) dấu = xảy ra khi y-\(\frac{1}{4}\)=0=> y=\(\frac{1}{4}\)

 bài 4 yêu cầu phải là tìm GTNN nhé

x-2\(\sqrt{x}\)-5= \(\left(\sqrt{x}\right)^2\)-2.\(\sqrt{x}\).1+\(1^2\)-\(1^2\)-5

=\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)-6

Ta có \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)\(\ge\)0 

=>\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)-6 \(\ge\)-6

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là -6 dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x}\)-1=0=> x=1

a: \(A=\dfrac{x-2-2x-4+x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{-\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{6\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{-6}{\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{-\left(x+1\right)}{6\left(x+2\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)}{\left(x+2\right)^2}\)

b: A>0

=>x+1>0

=>x>-1

c: x^2+3x+2=0

=>(x+1)(x+2)=0

=>x=-2(loại) hoặc x=-1(loại)

Do đó: Khi x^2+3x+2=0 thì A ko có giá trị

a) Sửa đề: Tìm GTNN

A = |2x - 1| - 4

Ta có:

|2x - 1| ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ |2x - 1| - 4 ≥ -4 với mọi x ∈ R

Vậy GTNN của A là -4 khi x = 1/2

b) B = 1,5 - |2 - x|

Ta có:

|2 - x| ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -|2 - x| ≤ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 1,5 - |2 - x| ≤ 1,5 với mọi x ∈ R

Vậy GTLN của B là 1,5 khi x = 2

c) C = |x - 3| ≥ 0 với mọi x ∈ R

Vậy GTNM của C là 0 khi x = 3

d) D = 10 - 4|x - 2|

Ta có:

|x - 2| ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 4|x - 2| ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -4|x - 2| ≤ 0 với mọi x ∈ R

⇒ 10 - 4|x - 2| ≤ 10 với mọi x ∈ R

Vậy GTLN của D là 10 khi x = 2

\(A=\frac{5x^2+4x-1}{x^2}=\frac{9x^2-\left(4x^2-4x+1\right)}{x^2}=9-\frac{\left(2x-1\right)^2}{x^2}\le9\)

Dấu \(=\)khi \(2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\).

\(B=\frac{x^2}{x^2+x+1}=\frac{3x^2}{3x^2+3x+3}=\frac{4x^2+4x+4-\left(x^2+4x+4\right)}{3x^2+3x+3}=\frac{4}{3}-\frac{\left(x+2\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\le\frac{4}{3}\)

Dấu \(=\)khi \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\).