Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc và R là độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(3\left(m_a+m_b+m_c\right)R_m\ge2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC, gọi Rm là bán kính đường tròn ngoại tiếp với tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt bằng độ dài của 3 đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(R_m\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
a, Cho tam giác ABC nhọn. CMR:\(h_a+h_b+h_c\ge9r\) với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b, CM
\(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}+\dfrac{1}{m_c}\ge\dfrac{2}{R}\)
( \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trug tuyến ứng với cạnh a,b,c và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
Cho tam giác ABCa) CM: left(p-aright)left(p-bright)left(p-cright) dfrac{1}{8}abcb) dfrac{r}{R}ledfrac{1}{2} ( trong đó r là bán kính đg tròn nội tiếp, R là bk đg tròn ngoại tiếp)c) dfrac{a}{m_a}+dfrac{b}{m_b}+dfrac{c}{m_c}ge2sqrt{3} trong đó ma,mb,mc là đg trung tuyến hạ từ các đỉnhd) Gọi la là độ dài đg phân giác xuất phát từ đỉnh A. CMl_a^2dfrac{4bc}{left(b+cright)^2}pleft(p-aright)Cm: b+cgedfrac{a}{2}+sqrt{3}l_a
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC
a) CM: \(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)< \dfrac{1}{8}abc\)
b) \(\dfrac{r}{R}\le\dfrac{1}{2}\) ( trong đó r là bán kính đg tròn nội tiếp, R là bk đg tròn ngoại tiếp)
c) \(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\ge2\sqrt{3}\) trong đó ma,mb,mc là đg trung tuyến hạ từ các đỉnh
d) Gọi la là độ dài đg phân giác xuất phát từ đỉnh A. CM
\(l_a^2=\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}p\left(p-a\right)\)
Cm: \(b+c\ge\dfrac{a}{2}+\sqrt{3}l_a\)
a, Áp dụng BĐT Cosi:
\(\sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}\le\dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le\dfrac{p-b+p-c}{2}=\dfrac{a}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\le\dfrac{p-c+p-a}{2}=\dfrac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)
Đúng 1
Bình luận (0)
b, \(\dfrac{r}{R}=\dfrac{\dfrac{S_{ABC}}{p}}{\dfrac{abc}{4S_{ABC}}}\)
\(=\dfrac{4S_{ABC}^2}{p.abc}=\dfrac{4.p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p.abc}\)
\(\le\dfrac{4.p.\dfrac{1}{8}abc}{p.abc}=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
c, Áp dụng BĐT Cosi:
\(a.m_a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.m_a\)
\(\le\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\dfrac{3}{4}a^2+m_a^2}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\left(\dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)
\(\Rightarrow a.m_a\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};b.m_b\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};c.m_c\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)
Khi đó \(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\)
\(=\dfrac{a^2}{a.m_a}+\dfrac{b^2}{b.m_b}+\dfrac{c^2}{c.m_c}\)
\(\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}}=2\sqrt{3}\)
Đúng 1
Bình luận (1)
31 tháng 8 2023 lúc 19:08
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến của tam giác đó. Chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng tổng độ dài của ba đường trung tuyến của một tam giác luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương độ dài cạnh tương ứng. Vì vậy, ta có:
ama + bmb + cmc ≥ (ma + mb + mc)²/3
Theo định lý đường trung tuyến, ta biết rằng ma + mb + mc = 3/2(a + b + c). Thay vào biểu thức trên, ta có:
ama + bmb + cmc ≥ (3/2(a + b + c))²/3
Simplifying the expression, we get:
ama + bmb + cmc ≥ 3/4(a + b + c)²
Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta cần chứng minh rằng 3/4(a + b + c)² ≥ √32. Tuy nhiên, để chứng minh điều này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC có a,b,c,ma,mb,mc,R lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB, độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Biết rằng: \(\frac{a^2+b^2}{mc}+\frac{b^2+c^2}{ma}+\frac{c^2+a^2}{mb}=12R\). Chứng minh rằng tam giác ABC đều
a)Cho tam giác ABC có các trung tuyến \(m_a=15;m_b=12;m_c=9\). Tính diện tích tam giác ABC.
b) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Bán kính đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?
c) Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Bán kính đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?
Tất cả các bài này giải theo cách của lớp 9Bài 1: (Công thức tính độ dài đường trung tuyến) Cho tam giác ABC , gọi ma là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh m^2_afrac{2left(b^2+c^2right)-a^2}{4}Bài 2: Cho tam giác ABC có a2+b22c2, ma, mb, mc là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.Chứng minh m_a+m_b+m_cfrac{sqrt{3}}{2}left(a+b+cright)
Đọc tiếp
Tất cả các bài này giải theo cách của lớp 9
Bài 1: (Công thức tính độ dài đường trung tuyến)
Cho tam giác ABC , gọi ma là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh \(m^2_a=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC có a2+b2=2c2, ma, mb, mc là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.Chứng minh
\(m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
Đúng 0
Bình luận (0)
Tất cả các bài này giải theo cách của lớp 9Bài 1: (Công thức tính độ dài đường trung tuyến) Cho tam giác ABC , gọi ma là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh m^2_afrac{2left(b^2+c^2right)-a^2}{4}Bài 2: Cho tam giác ABC có a2+b22c2, ma, mb, mc là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.Chứng minh m_a+m_b+m_cfrac{sqrt{3}}{2}left(a+b+cright)
Đọc tiếp
Tất cả các bài này giải theo cách của lớp 9
Bài 1: (Công thức tính độ dài đường trung tuyến)
Cho tam giác ABC , gọi ma là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh \(m^2_a=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC có a2+b2=2c2, ma, mb, mc là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.Chứng minh
\(m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\)
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BCa,ACb,ABc. Gọi
m
a
là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai? A.
m
a
2
b
2
+
c
2
2
-...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC=a,AC=b,AB=c. Gọi m a là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. m a 2 = b 2 + c 2 2 - a 2 4
B. a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos A
C. S = a b c 4 R
D. a sin A = b sin B = c sin C = 2 R
