Theo tính chất: Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, ta suy ra I là trung điểm của NQ và MP.

Xét tam giác MQN có I là trung điểm NQ, IE // MN nên IE là đường trung bình tam giác.

Vậy nên IE = MN/2

Tương tự IF là đường trung bình tam giác ANP nên IF = MN/2

Vậy nên IE = IF hay I là trung điểm EF.

a: Xét hình thang MNPQ có 

A là trung điểm của MQ

B là trung điểm của NP

Do đó: AB là đường trung bình của hình thang MNPQ

Suy ra: AB//MN//PQ

Xét ΔQMN có AI//MN

nên \(\dfrac{AI}{MN}=\dfrac{AQ}{QM}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔPMN có KB//MN

nên \(\dfrac{KB}{MN}=\dfrac{1}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra AI=KB

a/ Áp dụng Py-ta-go vào tam giác INP => IP = √(NP² - IN²) = 9cm

b/ Áp dụng Py-ta-go vào tam giác INQ => QN = √(QI² + IN²) = 20cm
Có QP = QI + IP = 16 + 9 = 25 cm

Xét tam giác QNP có QP² = QN² + NP² (25² = 20² + 15²)
=> tam giác QNP vuông tại N => QN _l_ NP

c/ Có MN = QP - 2.IP = 25 - 2.9 = 7
==> S MNPQ = (MN + QP).NI / 2 = 192 cm²

d/ Tam giác NPQ vuông tại N có trung tuyến NE
=> NE = QE (= PQ/2) => NEQ cân tại E => EQN = ENQ (1)
Mà ENQ + PNE = PNQ = 90* và PNK + PNE = ENK = 90* => góc ENQ = PNK (2)

Từ (1)(2) => EQN = PNK
Xét tam giác KPN và KNQ có góc K chung và EQN = PNK => 2 tam giác này đồng dạng (g.g)
==> KP/KN = KN/KQ <=> KN^2 = KP.KQ (đpcm)

b: Xét hình thang MNPQ có EF//QP

nên ME/MQ=NF/NP(1)

Xét ΔMQP có EO//QP

nên EO/QP=ME/MQ(2)

Xét ΔNQP có OF//QP

nên OF/QP=NF/NP(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OE/QP=OF/QP

hay OE=OF

Hình vẽ:

Lời giải:

a) Xét tam giác $EDM$ và $EKQ$ có:

$\widehat{E}$ chung

$\widehat{EDM}=\widehat{EKQ}$ (hai góc đồng vị)

$\Rightarrow \triangle EDM\sim \triangle EKQ$ (g.g)

b) 

$MD\parallel QK$ nên theo định lý Talet:

$\frac{EM}{EQ}=\frac{ED}{EK}\Rightarrow EM.EK=EQ.ED$

a: Xét hình thang MNPQ có 

I là trung điểm của MQ

IK//MN//QP

Do đó: K là trung điểm của NP

b: Xét hình thang MNPQ có 

I là trung điểm của MQ

K là trung điểm của NP

Do đó: IK là đường trung bình của hình thang MNPQ 

Suy ra: \(IK=\dfrac{MN+PQ}{2}=6.5\left(cm\right)\)