a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>\(AC=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà AD+CD=AC=4

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(AD=\dfrac{3}{2}=1,5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔCHD vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{HCD}\) chung

Do đó: ΔCHD đồng dạng với ΔCAB

=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(CH\cdot CB=CA\cdot CD\)

c: Ta có: AE\(\perp\)BC

DH\(\perp\)BC

Do đó: HD//AE

Xét ΔAEC có HD//AE

nên \(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{CD}{DA}\)

mà \(\dfrac{CD}{DA}=\dfrac{BC}{BA}\)

nên \(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{BC}{BA}\)

d: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBHD

=>BA=BH và DA=DH

Ta có: BA=BH

=>B nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: DA=DH

=>D nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AH

=>BD\(\perp\)AH tại O và O là trung điểm của AH

=>OA=OH(3)

Xét ΔCMN có AO//MN

nên \(\dfrac{AO}{MN}=\dfrac{CO}{CM}\left(4\right)\)

Xét ΔCBM có OH//BM

nên \(\dfrac{OH}{BM}=\dfrac{CO}{CM}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra MN=BM

=>M là trung điểm của BN

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABC
   \(BC^2=AB^2+AC^2=15^2+20^2=625\Rightarrow BC=20\left(cm\right)\)

Tam giác ABC có BD là đuognừ phân giác theo tính chất phân giác ta có:

\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\) mà theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{AD}{AD+DC}=\frac{AB}{AB+BC}\Leftrightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{15+225}\Leftrightarrow\frac{AD}{20}=\frac{15}{40}\Rightarrow AD=\frac{20\times15}{40}=7,5\left(cm\right)\).

b) Xét Tam giácCHD và Tam giác CAB có

                      ^H = ^A = 90 độ

                    ^C chung
\(\Rightarrow\) Tam giác CHD đồng dạng với tam giácCAB

\(\Rightarrow\frac{HD}{AB}=\frac{CH}{CA}=\frac{CD}{CB}\Rightarrow CH.CB=CD.CA\).

c) Ta có: CD = AC - AD = 20 - 7,5 = 12,5(cm).
Từ tỉ số đồng dạng ở câu b ta có:

\(CH=\frac{CA.CD}{CB}=\frac{20.12,5}{25}=10\left(cm\right).\)

\(HD=\frac{AB.CH}{CA}=\frac{15.10}{20}=7,5\left(cm\right).\)

Vì tam giác HCD vuông tại H nên \(S_{CHD}=\frac{HC.HD}{2}=\frac{10.7,5}{2}=37,5\left(cm^2\right).\)

a: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(CH\cdot CB=AC^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCDB vuông tại C có CA là đường cao ứng với cạnh huyền DB, ta được:

\(AD\cdot AB=CA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(CH\cdot CB=AD\cdot AB\)

a: \(BC=\sqrt{4.2^2+5.6^2}=7\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4.2\cdot5.6=11.76\left(cm^2\right)\)

b: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên BD/AB=CD/AC

=>DB/3=DC/4=(DB+DC)/(3+4)=7/7=1

=>DB=3cm; DC=4cm

c: Xét ΔCAB có ED//AB

nên ED/AB=CD/CB

=>ED/4,2=4/7

=>ED=2,4cm

a: Xet ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng với ΔABC

b: BC=25cm

AH=15*20/25=12cm

HB=20^2/25=16cm

HC=25-16=9cm

a) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+20^2=625\)

hay BC=25(cm)

Ta có: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(cmt)

nên \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{BA}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}\)

hay AH=12(cm)

Vậy: AH=12cm

b) Ta có: tia AD nằm giữa hai tia AB,AC(gt)

nên \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{BAC}\)

hay \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=90^0\)(1)

Ta có: ΔADH vuông tại H(gt)

nên \(\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(2)

Ta có: AD là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\)(gt)

nên \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

Xét ΔBDA có \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)(cmt)

nên ΔBDA cân tại B(Định lí đảo của tam giác cân)

a.Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông ABC, có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10cm\)

b.Xét tam giác vuông ABK và tam giác vuông BKH, có:

góc ABK = góc KBH ( gt )

BK: cạnh chung

Vậy tam giác vuông ABK = tam giác vuông BKH (cạnh huyền.góc nhọn)

=> AK = HK ( 2 cạnh tương ứng )

c.Xét tam giác vuông HKC và tam giác vuông AKI, có:

AI = HC ( gt )

AK = HC ( cmt )

Vậy tam giác vuông HKC = tam giác vuông AKI ( 2 cạnh góc vuông)

=> góc AIK = góc HCK ( 2 góc tương ứng )

=> Tam giác KIC cân tại K

d. Ta có:tam giác vuông HKC = tam giác vuông AKI 

=> góc AKI = góc CKH ( 2 góc tương ứng )

=> 3 điểm IKH thẳng hàng ( 2 góc cmt đối nhau )

a: BC=10cm

b: Xét ΔBAK vuông tại A và ΔBHK vuông tại H có

BK chung

\(\widehat{ABK}=\widehat{HBK}\)

Do đó: ΔBAK=ΔBHK

Suy ra: KA=KH

c: Xét ΔHKC vuông tại H và ΔAKI vuông tại A có

KH=KA

HC=AI

Do đó:ΔHKC=ΔAKI

Suy ra: KC=KI

hay ΔKIC cân tại K

Xét $\Delta ABC$ có : ˆBAC+ˆB2+ˆACB=1800BAC^+B2^+ACB^=1800$\Rightarrow$ˆB2+ˆACB=900B2^+ACB^=900

Ta có :  ˆDBC=ˆB1+ˆB2DBC^=B1^+B2^$\Rightarrow$ˆB1+ˆB2=900B1^+B2^=900

$\Rightarrow$ˆB1=ˆAC