a) \(A=sin\left(90^0-x\right)+cos\left(180^0-x\right)+sin^2x\left(1+tan^2x\right)-tan^2x\)

\(=cosx-cosx+sin^2x.\left(\dfrac{1}{cos^2x}\right)-tan^2x\)

\(=tan^2x-tan^2x\)

\(=0\)

b) \(B=\dfrac{1}{sinx}.\sqrt{\dfrac{1}{1+cosx}+\dfrac{1}{1-cosx}}-\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{1}{sinx}.\sqrt{\dfrac{1-cosx+1+cosx}{1-cos^2x}}-\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{1}{sinx}.\sqrt{\dfrac{2}{sin^2x}}-\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}}{sin^2x}-\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(1-sin^2x\right)}{sin^2x}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}cos^2x}{sin^2x}\)

\(=\sqrt{2}tan^2x\)

t g 2 α - sin 2 α . t g 2 α = t g 2 α ( 1 - sin 2 α ) = t g 2 α sin 2 α + c o s 2 α - sin 2 α = t g 2 α . c o s 2 α = sin 2 α / c o s 2 α . c o s 2 α = sin 2 α

cos 2 α + t g 2 α . cos 2 α = cos 2 α + sin 2 α / cos 2 α . cos 2 α = cos 2 α + sin 2 α = 1

1 – sin 2 α  = ( sin 2 α  +  c o s 2 α ) –  sin 2 α

=  sin 2 α +  c o s 2 α  –  sin 2 α  =  c o s 2 α

b)  tan 2 α - sin 2 α . tan 2 α

= tan 2 α (1 - sin 2 α )

=  tan 2 α . cos 2 α

=  sin 2 α

sin 4 α + cos 4 α  + 2 sin 2 α . cos 2 α  =  sin 2 α + cos 2 α 2 α = 1

1 +  sin 2 α  +  c o s 2 α  = 1 + ( sin 2 α  +  c o s 2 α ) = 1 + 1 = 2

b) sinα - sinα. c o s 2 α

= sinα (1 -  c o s 2 α )

= sinα. sin 2 α

= sin 3 α

c)  sin 4 α + cos 4 α + 2 sin 2 α c o s 2 α

= sin 2 α + cos 2 α 2

= 1